饮马长城窟行里的句子是青青河畔草,绵绵思无道；远道欲何之,宿昔梦见之；还是青青河边草,绵绵思远道,

（1）
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作点B关于AC的对称点B′，连接B′E交AC于P，
此时PB+PE的值最小．连接AB′．
AB′=AB=
AC2+BC2＝
22+22＝2
2
AE=
1
2AB＝
2∵∠B′AC=∠BAC=45°∴∠B′AB=90°∴PB+PE的最小值=B′E=
B′A2+AE2＝
(2
2)2+(
2)2＝
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（2）作点B关于AC的对称点B，过B′作B′N⊥AB于N，交AC于M．此时BM+MN的值最小．
BM+MN=B′N．
理由：如图1，在AC上任取一点l（不与点M重合），
在AB上任取一点N_l，
连接B′M_l、BM_l、M_lN_l、B′NN_l．
∵点B′与点B关于AC对称
∴BM_l=B′M_l∴BM_l+M_lN_l=B′M_l，BMM_lN_l＞B′N_l
又∵B′N_l＞B′N，BM+MN=B′N
∴BM_l+M_lN_l＞BM+MN
计算：如图2
∵点B′与点B关于AC对称
∴AB′=AB
又∵∠BAC=30°∴∠B′AB=60°图2
∴△B′AB是等边三角形
∴B′B=AB=2，∠B′BN=60°又∵B′N⊥AB∴B′N=B′B°=
3

（3）方法一：构造图形如图所示
其中：AB=4，AC=1，DB=2，AP=x，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B．
那么PC+PD=
x2+1+
(4−x)2+4
所求
x2+1+
(4−x)2+4的最小值就是求PC+PD的
最小值．
作点C关于AB的对称点C′，过C′作C′E垂直DB的延长线于E．
则C′E=AB=4，DE=2+1=3，C′D=
C′E2+DE2＝
42+32＝5
所求
x2+1+
(4−x)2+4的最小值是5．
方法二：构造图形如图所示：
在直角坐标系中，点A（0，1）、B（4，2）、P（x，0）（0≤x≤4）
那么PA+PB=
x2+1+
(4−x)2+4
所求
x2+1+
(4−x)2+4的最小值就是求PA+PB的
最小值．
作点C关于x轴的对称点A′，过A′作A′C垂直于
y轴，过点B作BC垂直于x轴交A′C于点C．
则A′C=4，BC=3，A′B=
A′C2+BC＝
42+32＝5
所求
x2+1+
(4−x)2+4的最小值是5．

点评：
本题考点： 轴对称-最短路线问题．

考点点评： 此题主要考查轴对称--最短路线问题，同时考查了勾股定理及等边三角形的判定和性质，难度较大．

此题是距离之和最短问题，涉及轴对称及直角三角形勾股定理内容
分别作点P关于OA,OB的对称点P ₁ ,P ₂ , 连接P ₁ P ₂ ，交OA于点Q ,交OB于点R,
此时的PQ+QR+RP最短，即△PQR的周长，也就是线段P ₁ ,P ₂ 的长度。
要求这个最短距离，连接OP ₁ ，OP ₂
因为，P,P ₁ 关于OA对称,P,P ₂ 关于OB对称
所以，OP ₁ =OP=2，OP ₂ =OP=2 , ∠P ₁ OA=∠POA, ∠P ₂ OB=∠POB
所以，OP ₁ =OP ₂ ="2" , ∠P ₁ OA+∠P ₂ OB =∠POA+∠POB=∠AOB=45°
所以，∠P ₁ O P ₂ =90º
即△P ₁ O P ₂ 是等腰直角三角形
因为，腰长OP ₁ =OP ₂ =2
所以，P,P ₂ = =
即最短路程是

饮马处的C点如图所示．

点评：
本题考点： 轴对称-最短路线问题；作图—应用与设计作图．

考点点评： 本题考查了轴对称确定最短路线问题，此类问题理论依据是线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等和三角形的任意两边之和大于第三边，需熟练掌握．