求1/(1+tanx^2)积分

函数分解就是化成若干初等函数,初等函数有以下几种：
1.常函数
2.指数函数
3.幂函数
4.三角函数
5.对数函数
6.反三角函数
分解的时候比如sinx,就不能是sin(2x+1）,sin(e^x)等等,也就是分解后每一项都是最简单的形式
(1)
y=e^u
u=2v^2
v=sinw
w=x^2
(2)
y=lnu
u=v^2
v=sinx
(3)
y=e^u
u=√v
v=tanw
w=x^2
从上面的结果可以看出,对于复合函数每一层,不管有多复杂,把内部的层次看成一个整体就行了

显然是一复合函数单调性问题
使用高数方法较为简单,可直接通过导数符号进行判断；
下面重点介绍初等方法：
需要强调的是原函数的定义域,需要好好研究.x²≠(4kπ-3π)/4 且k>=1,k∈Z*
分别讨论子函数单调性,然后根据单调性相反即为减区间的道理复合即可.
1、f(t)=2t/(1+t) t≠-1
=-2/(1+t) +2 此为关于t的以（-1,2）为中心的反比例函数
单调增区间为（-∞,-1）∪（-1,∞）,无减区间∞
2、要求原复合函数增区间,这里只需要判断t(x)的增区间即可.
因为t(x)=2tanx^2 x²≠(4kπ-3π)/4 且k>=1,k∈Z*
此时仍为一复合偶函数函数,需继续分解讨论.
因偶函数在对称区间的单调性相反,这里只需要针对单符号考虑增区间即可.正抛物线函数单调性较容易判断,难点在于正切函数具有周期单调性.
当x在定义域内取正值时,抛物线为单调增函数,这里只需要求解正切函数的增区间,显然分段可以得出答案
最后记得将对称单调区间一并补上.暂且回答这些,有问题留言

左边=1/sin²x+1/cos²x-1/(cos²x/sin²x)
=1/sin²x+1/cos²x-sin²x/cos²x
=1/sin²x+(1-sin²x)/cos²x
=1/sin²x+cos²x/cos²x
=(sin²x+cos²x)/sin²x+1
=sin²x/sin²x+cos²/sin²x+1
=1+tan²x+1
=2+tan²x=右边
命题得证

cos2x
=cos²x-sin²x
=(cos²x-sin²x)/(cos²x+sin²x)
分子分母同除以cos²x,得
=(1-tanx^2)/(1+tanx^2)

lim(x-->0) (1 /x^2 - 1/tanx^2)
=lim(x-->0) (tan^2x-x^2) /(x^2 *tanx^2)
=lim(x-->0) (tan^2x-x^2) /(x^4)
=lim(x-->0) (sin^2x-cos^2x*x^2) /(cos^2x*x^4)
=lim(x-->0) (sin^2x-cos^2x*x^2) /(x^4) (0/0)
=lim(x-->0) (2sinxcosx+2cosxsinx*x^2-2cos^2x*x) /(4x^3)
=lim(x-->0) (sinx+sinx*x^2-cosx*x) /(2x^3) (0/0)
=lim(x-->0) (cosx+cosx*x^2+2xsinx+sinx*x-cosx) /(6x^2)
=lim(x-->0) (cosx*x^2+3xsinx) /(6x^2)
=lim(x-->0) (cosx*x+3sinx) /(6x) (0/0)
=lim(x-->0) (-sinx*x+cosx+3cosx) /(6)
=2/3

2cos^2x+sin2x=cos2x+1+sin2x,
由公式cos2x=[1-(tanx)^2]/[1+(tanx)^2]以及sin2x=2tanx/[1+(tanx)^2]可以得到y=（2cos^2x+sin2x）/1+tanx=2/[1+(tanx)^2]
因为tanx的范围是R,所以y=2/[1+(tanx)^2]的值域是(-无穷,0),(0,+无穷)

(tanx)^2 = (secx)^2 -1
∫ (tanx)^2 dx = ∫ [ (secx)^2 -1] dx = tanx - x + C
如果是 ∫ tan(x^2) dx ,不可求.

题目说得不清楚,请加几个括号来表示,还有平方的地方也不清楚.

是的,因为由商数关系将tanx化为sinx/cosx后,代入左边通分,分子将出现一个平方和,就可得到右边了.