罗必塔法则证明为什么可以定义f(a)=g(a)=0?

答案同楼上.
例：limf(x),x->正无穷
其中f(x)=(x+cos(x))/(x+sin(x))
容易知道limf(x),x->正无穷=1.但是,由L'Hospital法则,(1-sin(x))/(1+cos(x))极限不存在.

那样的话你必须要保证拆开后的两个式子都有极限,否则两式不等价

即使无定义,这是我们加的啊,就是说无定义我们就自己补上一个

(x→0) lim (tanx - x) / (x - sinx)
=(x→0) lim (x + x³/3 - x) / [x - (x - x³/3!)] 利用 tanx 和 sinx 在 x=0 处的无穷小展开
=(x→0) lim (x³/3) / (x³/3!)
=3!/3
=2

x趋向于0?

A,B可以同时除以x,可以直接把极限算出来,A的极限是0,B的极限是1.D可以直接算出来是0,C中把分母写成1/x就分子分母极限是0,就用洛必达法则

利用罗比达法则,要求是商的形式.
第一个化成：
limx→∞ (π/2-arctanx)/(1/x) ,然后用罗比达法则,然后在整理下
2、第二个,把分母中x也移到根号里面.然后利用复合函数求极限.
或者直接利用罗比达法则.（需要利用复合函数求导）
这道题的极限不存在.因为,当x->+∞,极限为1；当x->-∞,极限为-1；

第一个极限为-2,第二个为根号3.
分析:两个均为无穷小比无穷小的情形,直接用罗必塔法则,对分子分母分别求一次导数就可以了.

lim[(1+x)^(1/x)-e]/x (x趋于0）=
利用lim(1+1/x)^x=e（x趋于正无穷）
把1/x看成x lim(1+x)^(1/x)=e (x趋于0）
lim[(1+x)^(1/x)-e]/x (x趋于0）
=lim[(1+x)^(1/x)-e]/limx(x趋于0）
=（e-e）/limx(x趋于0）=0

分子求导=(x+1)/(x-1)*[(x-1)/(x+1)]'
=(x+1)/(x-1)*(x+1-x+1)/(x+1)²
=2/(x+1)(x-1)
=2/(x²-1)
分母求导=-1/x²
所以得到-2x²/(x²-1)

通分,e^x-1用x等价
lim(e^x-1-x)/x^2
=lim(e^x-1)/2x
=lim(e^x/2)=1/2

这不是0×1型极限吗?答案是0

解法如下：

(1)因式分解
x^n-1=(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1)
x^m-1=(x-1)(x^(m-1)+x^(m-2)+...+x+1)
(x^n-1)/(x^m-1)=(x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1)/(x^(m-1)+x^(m-2)+...+x+1)
x->1时极限是n/m
(2)用共轭的根式有理化,也可以算因式分解的方法
[sqrt(1+2x)-3]/[sqrt(x)-2]
=(1+2x-3)/[sqrt(1+2x)+3] * [sqrt(x)+2]/(x-2)
=2[sqrt(x)+2]/[sqrt(1+2x)+3]
x->4时极限是4/3
(3)利用和差化积公式,但是你必须知道y->0时lim siny/y =1,否则也只能用定义.
(sinx-sina)/(x-a)
=2sin[(x-a)/2]/(x-a) * cos[(x+a)/2]
x->a时极限是cosa.
(4)因式分解,你必须知道y->0时lim (e^y-1)/y =1,否则只能用定义.
[(e^x+e^(-x))-2]/x^2
=e^(-x) * [(e^x-1)/x]^2
x->0时极限是1
(5)往(1+1/n)^n的形式凑
[(x+1)/(x-1)]^x=[1+2/(x-1)]^x
令y=(x-1)/2,那么
[1+2/(x-1)]^x=(1+1/y)^(2y+1)=[(1+1/y)^y]^2 * (1+1/y)
y->无穷的时候极限是e^2
注：
1.都已经是大学生了,括号不应该随便省掉.
2.我可以用初等方法帮你解决掉一部分问题,但这个绝不是通用办法.虽然很多都是高中数学的方法,但是从你的叙述来看你的基本功也不见得扎实到能把这些方法运用自如.
3.L'Hospital法则和Taylor公式基本上是万能的,虽然你们不学L'Hospital法则,我想Taylor公式总不会删掉的吧,L'Hospital法则(叙述上)还是很简单的,有空自己去学一下,否则做题目的时候是自找麻烦.

0乘以有限的数是0,但乘以无穷大就不一定是0了,而是不定型
可能是0,可能是非0的常数,也可能是无穷大

1.当x《0时,显然有ex≤e^x
当x>0时,要证ex≤e^x,只要证e^x/x-e》0,构造f（x）=e^x/x,所以f（1）=e
所有由拉格朗日中值定理,当x>1时,f（x）-f（1）=(e^a)(a-1)/a^2(x-1),a属于【1,x],显然
f(x)>f（1）
当x=1,f（x）=f（1）
当1>x>0时,f（x）-f（1）=(e^a)(a-1)/a^2(x-1),a属于[0,1],所以f(x)>f（1）
综合上述,e^x/x-e》0,即ex≤e^x
2,构造f（x）=tanx,f（0）=0,f（x）-f（0）=1/(cosa)^2(x-0),其中a属于【0,π／2】,显然f（x）-f（0）》x,所以x≤tanx
3.lim(x→0)[1／e（1+x）^1／x]^1／x
=lim（x→0）e^{ln{1／e（1+x）^1／x}/1／x}
= lim e^{(1／x)ln(1+x)-1}/x
=lime^{ln(1+x)-x}/x^2(前面几步,恒等变形)
=lime^{1/(1+x)-1}/2x（罗必塔法）
=lime^-x/2x
=e^-1/2

不可以直接约掉,要用洛必达法则,这个是零比零形式的,要用洛必达法则来求极限!千万注意,容易错.虽然这题结果都一样.这种类型的都用洛必达法则就没错!

答：
1)f'(x0)和f(x)在x0处一阶可导是一个意思
2）
可以应用,属于0----0型可导法则
所以：
lim(x→0) f [ 1 - √cosx ] / ln(1-xsinx)
=lim(x→0) f ' (1-√cosx) *[ -(1/2)*(-sinx) / √cosx ] / [ -(sinx+xcosx) / (1-xsinx)]
=f ' (0) *(1/2)*sinx / (-sinx-xcosx)
=(1/2)*f ' (0) / (-1-cosx)
=-(1/4)*f'(0)

上下同时求导，那个4是平方的那一个2和2X那个2求导之后乘一起的。那个sin是你先对lnsinx求导就是倒数1/sinx再对sinx求导就是上边的cos了。负号就是那个-2的导。这么明白了吧，望采纳。顺便说一下，我喜欢夹逼准则，哈哈。

用公式x = e^lnx
x^x = e^(lnx^x) = e^(xlnx) = e^[lnx/(1/x)]
lim(x-->0) x^x = e^lim(x-->0) lnx/(1/x)
= e^lim(x-->0) (1/x)/(-1/x²),洛必达法则,分子和分母分别求导
= e^lim(x-->0) (- x)
= e^0
= 1

通过构造函数的方法，可知当x→0+时，lnx>-1/根号x所以-1/根号x

(sinx)^tanx = (1 + sinx - 1)^tanx
= (1 + sinx - 1)^[tanx(sinx - 1)/(sinx - 1)]
= {(1 + sinx - 1)^[1/(sinx - 1)]}^[tanx(sinx - 1)]
u = x - 90度
x = u + 90度
tanx(sinx - 1) = tan(u + 90度)[sin(u + 90度) - 1]
= -cot(u)[cosu-1]
= cosu[1 - cosu]/sinu
= 2(cosu)[sin(u/2)]^2/[2sin(u/2)cos(u/2)]
= (cosu)tan(u/2)
x趋向90度时
(1 + sinx - 1)^[1/(sinx - 1)] 趋向于 e,
u 趋向于 0,
tanx(sinx - 1) = (cosu)tan(u/2)趋向于 0,
所以,
原极限 = e^0 = 1

lim(x-sinx)/x^3, x→0是0/0型极限,适用洛比达法则.
lim(x-sinx)/x^3
= lim(1-cosx)/(3x^2)
= lim(sinx)/(6x)
= lim (cosx)/6
=1/6, x→0