若α，β是实系数方程x2+x+p=0 的二根，|α-β|=3，则求实数p的值及方程的根．

解题思路：首先根据所给的一元二次方程的根的范围，表示出m，n之间的关系，得到不等式组，画出可行域，求出[n/m]的范围，做出它的倒数的范围，根据基本不等式表示出最大值，得到结果．

令f（x）=x²+（m+1）x+m+n+1，
由题意0＜x₁＜1，x₂＞1，知，

f(0)＞0
f(1)＜0即

m+n+1＞0
2m+n+3＜0
不等式组表示区域如图阴影部分．

[n/m]表示点P（m，n）与原点连线的斜率．
∴-2＜[n/m＜−
1
2]，
-2＜[m/n＜−
1
2]，
∵[m/n]与[n/m]的符号是负数，得到根据基本不等式知[m/n+
n
m≤−2
∵
m
n]与[n/m]取得最值的时候正好相反，即一个取得最大值时，另一个取得最小值，
∵u＝
m2+n2
mn=[n/m]+[m/n]∈(−
5
2，-2]
故选A．

点评：
本题考点： 简单线性规划的应用；基本不等式；一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评： 本题考查线性规划的应用，考查基本不等式求最值，考查一元二次方程的根与系数的关系，本题解题的关键是对所给的代数式变形整理，再根据线性规划得到要用的范围，本题是一个中档题目．

本题应用函数思想来解决 由二次函数图象开口向上知原式应满足F[0]＞0;F[1]＜0;其实这样就已经满足判别式大于0了,就不需再考虑判别式,再者就是对称中心-[M+1]/2＞0,这样就解得M＜-1且2M+N+3＜0且M+N+1＞0 再运用线性规划思想把得到的解所需条件在坐标轴上画出来 [把N看成横坐标N/M是关于原点的斜率] 我画了一下得到N/M＜-1/2

解题思路：根据韦达定理表示出两根之和与两根之积，由方程的一个虚根1+i，得到另一根，进而求出a与b的值，确定出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，判断d与圆半径r的大小关系，可得出直线与圆的位置关系，即可得到直线与圆交点的个数．

由韦达定理（一元二次方程根与系数关系）可得：
x₁+x₂=a，x₁•x₂=-b
∵b，c∈R，
x₁=1+i，∴x₂=1-i，
∴a=2，b=2，
∴直线方程为2x+2y=1，
由圆心（0，0）到直线的距离d=
|1|
2
2=

2
4＜r=1，
得到直线与圆的位置关系是相交，
则直线与圆的交点个数是2个．
故选A

点评：
本题考点： 直线与圆相交的性质；复数的基本概念．

考点点评： 本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，点到直线的距离公式以及直线与圆相交的性质，虚数单位i及其性质，要求学生掌握用d与r的大小来判断直线与圆的位置关系．其中利用复数的运算性质，判断出方程的另一个根为1-i，是解答本题的关键．