设S为集合{1,2,3,4,···,50}的一个子集,解S中任意俩个元素之和不能被7整除,则S中元素最多有多少个?

一、基础知识：(参阅《金牌之路•竞赛辅导•高中数学》第一讲：集合；第三十八讲：容斥原理；《金牌之路•竞赛解题指导•高中数学》第2讲：集合)
1. 元素与集合：a∈A,bA
2. 集合与集合：A B,AB,AB,A∩B,A∪B, UA,……
3. 差集：A－B＝{x|x∈A且xB}(部分资料上用“AB”表示)
4. 集合运算律：(略)
5. n个元素的集合所有子集个数为：2n
6. 覆盖与划分：如果集合S＝S1∪S2∪……∪Sn,则S1、S2、……、Sn叫做集合S的一个覆盖；如果同时又有Si∩Sj＝φ(i≠j),则S1、S2、……、Sn叫做集合S的一个划分.
7. 容斥原理：card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)
card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)
－card(A∩B)－card(B∩C)－card(C∩A)
＋card(A∩B∩C)
该结论可以推广到n个集合.
8. 命题与推理：简单命题与复合命题,逻辑关连词“或”、“且”、“非”的应用,逆命题、否命题、逆否命题及其真假性的判断
9. 充要条件：如果AB,则称A是B的充分条件,同时称B是A的必要条件
10. 数学悖论：对于命题p,如果p正确,则可以推导出“非p”,而如果p错误,又可以推导出p正确.也称“二难问题”.
二、例题：
1. 已知集合A＝{1,3,x},B＝{1,x2},A∪B＝{1,3,x},则这样的x的不同的值有( )个
A.1 B.2 C.3 D.4已知集合M中的元素都是自然数,且如果x∈M,则8－x∈M,则满足这样条件的集合M的个数为( )(注：自然数包括0)
A.64 B.32 C.16 D.8求集合{x∈Z| ≤2x＜32}的真子集个数.
4. 在1～120的120个自然数中,素数与合数各有多少个?
5. 已知M＝{a,a＋d,a＋2d},N＝{a,aq,aq2},且M＝N,求q的值.
6. 在数理化三科竞赛辅导中,高一10、11、12班参加数学辅导的有168人,参加物理辅导的有187人,参加化学辅导的有155人,数学、物理两科都参加的有139人,数学、化学两科都参加的有127人,物理、化学两科都参加的有135人,数理化三科都参加的有102人,问这三个班总共有多少人至少参加了一科的辅导?
根据容斥原理,至少参加一科辅导的学生人数为：
168＋187＋155－139－127－135＋102＝211
7. 求证：任意n＋1个整数中,总有两个整数的差能被n整除.
提示：利用余数构造n个集合,根据抽屉原理,至少有两个整数放在一个集合里,它们同余,它们的差一定能被n整除.
8. 证明：若购买超过17千克（整数千克）的粮食,只用3千克和10千克的粮票支付,而无需要找补.
本题其实就是证明大于17的整数都能表示为3m＋10n的形式,其中m,n都是非负整数.注意到：大于17的整数可以写成3k,3k＋1,3k＋2(k≥6)的形式,而3k＋1＝3(k－3)＋10,3k＋2＝3(k－6)＋10×2,因此它们都能够表示成3m＋10n的形式,其中m,n都是非负整数.
9. 设A是数集,满足若a∈A,则 ∈A,且1A.
⑴若2∈A,则A中至少还有几个元素?求出这几个元素.
⑵A能否为单元素集合?分别在实数集和复数集中进行讨论.
⑶若a∈A,证明：1－ ∈A.
⑴2∈A  －1∈A  ∈A  2∈A
∴ A中至少还有两个元素：－1和
⑵如果A为单元素集合,则a＝
即a2－a＋1＝0
该方程无实数解,故在实数范围内,A不可能是单元素集
但该方程有两个虚数a＝ i
故在复数范围内,A可以是单元素集,A＝{ i}或A＝{ i}
⑶a∈A  ∈A  ∈A,即1－ ∈A
10. 设S为集合{1,2,3,……,50}的一个子集,且S中任意两个元素之和不能被7整除,则S中元素最多有多少个?
将这50个数按照7的余数划分成7个集合
A0={7,14,21,28,35,42,49}
A1={1,8,15,22,29,36,43,50}
A2={2,9,16,23,30,37,44}
A3={3,10,17,24,31,38,45}
A4={4,11,18,25,32,39,46}
A5={5,12,19,26,33,40,47}
A6={6,13,20,27,34,41,48}
除去A0中的7个元素外,其余集合中的元素都不能被7整除,而且其余六个集合的每一个集合中任意两个元素之和也不能被7整除,但是,A1和A6、A2和A5、A3和A4中如果各取一个元素的话,这两个元素之和能够被7整除,因此,所求集合中的元素可以这样构成：A0中取一个,然后在A1和A6、A2和A5、A3和A4每一组的两个集合中取一个集合中的所有元素,为了“最多”,必须取A1中的8个,然后可以取A2、A3中各7个元素,因此S中元素最多有1+8+7+7=23个
11. 已知集合A中有10个元素,且每个元素都是两位整数,证明：一定存在这样两个A的子集,它们中没有相同的元素,而它们的元素之和相等.
这10个元素的总和S＜100×10＝1000
而A的子集总共有210＝1024＞1000＞S
根据抽屉原理,至少存在两个子集,他们的元素之和相等,记为M、N,
如果M、N没有公共元素,则M、N就是满足题意的子集,命题得证.
如果M、N中有公共元素,记M∩N＝Q,
考查集合M'＝M－Q,N'＝N－Q
则M'、N'中没有公共元素,且M'、N'的元素之和相等,同时它们都是A的子集.
即M'、N'为所求集合.
命题成立!
12. 老师手中拿有三顶白色帽子和两顶红色帽子,他让三个学生按前后顺序站成一列,然后让他们闭上眼睛,给他们每人戴上一顶帽子,并将剩下的两顶帽子藏了起来,三人睁开眼睛后,后面的人可以看见前面人的帽子颜色.这时老师问：“你们谁能判断出自己戴的帽子的颜色?”结果三人都说：“不能!”老师又说：“你们再考虑考虑,能判断出来吗?”三人思考了一会儿,还是都说：“不能!”老师再一次问：“真的不能吗?”,这时,站在最前面的同学突然说：“老师,我知道我戴的帽子颜色了!”请问,这位同学戴的帽子是什么颜色的?他又是怎样判断出自己帽子的颜色的?
答：白色.
不妨从前到后记三人为甲乙丙,
第一次问,甲乙自然无法判断,而丙也无法判断,说明甲乙二人戴的帽子颜色为“两白”或“一红一白”
第二次问,丙的情形没有变化,也无法判断,这时,甲和乙可以动脑筋了,既然甲乙的帽子颜色为“两白”或“一红一白”,如果乙看到甲的帽子颜色为红色,则乙的帽子颜色肯定为白色,这样乙就应该在老师第二次提问时回答出答案,这说明乙看到的甲的帽子颜色为白色.因此乙无法判断自己帽子的颜色.
这样,当老师第三次提问时,甲就可以利用前两次乙和丙“不知道”的回答给自己的提示,从而准确地判断出自己所戴帽子的颜色为白色.
13. 孙膑是中国古代著名的军事学家,他的兵法众人皆知.一天,大王决定要考一考孙膑的才能,便对孙膑说：“请你用计让我走下我的宝座.”一旁的庞涓争着说：“我把大王拖下来!”大王对他的答案立即给予否定：“这不是用计!”庞涓又说：“那我用火烧!”大王也不以为然,这时孙膑说：“大王,要你走下宝座确实不易,但如果你来到宝座下面的话,我可以用计让你走回去!”大王一心要试一试孙膑的智力,毫不犹豫地走了下来等待孙膑用计,这时孙膑说：“大王,我已经成功了!”大伙儿一时都糊涂了,这是怎么回事呢?
其实这是孙膑给大王设下了一个“二难”的格局,如果大王不下宝座,则孙膑的的前提“如果你来到宝座下面”不成立,这样我的智力无法表现出来了,而如果大王走下宝座,则“我已经让你走下了宝座”.因此,无论大王怎么样动作,孙膑都能够保证自己至少不输!
14. 这里是五间并排的商店.它们的店员分别是高太太(她不是美容师)、林先生(他不是水果商)、刘先生(他不是药商)、李先生(他不是杂货商)及卢小姐(她不是开花店的).
卢小姐的店铺位于这排商店的最后一间,刘先生的隔邻是杂货店,而他跟水果商很友善,希望有一天她能把店铺转让给他.
如果上面这一段文字已经能确定出每间店铺的主人,你能得出详细结果吗?
注意：题目叙述中已经透露出水果商是女性,并注意到“这一段文字已经能确定出每间店铺的主人”,画出推理表即可得出正确结论
美容师 水果商 药商 杂货商 开花店
高太太 × O × × ×
林先生 × × × O ×
刘先生 × × × × O
李先生 × × O × ×
卢小姐 O × × × ×
练习：
1. 集合A＝{a2,a＋1,－3},B＝{a－3,2a－1,a2＋1},若A∩B＝{－3},则a的值是( )
A.0 B.1 C.2 D.－1
2. 设A＝{x∈Z|x2－px＋15＝0},B＝{x∈Z|x2－5x＋q＝0},若A∪B＝{2,3,5},则集合A,B分别是( )
A.{3,5},{2,3} B.{2,3},{3,5} C.{2,5},{3,5} D.{3,5},{2,5}
3. 50名学生参加跳远和铅球两项测试,成绩及格的人数分别为40人和31人,两项成绩都不及格的有4人,那么两项成绩都及格的有( )人
A.35 B.25 C.28 D.15
4. 集合{x∈N|0＜|x－1|＜3}的真子集个数为( )
A.16 B.15 C.8 D.7
5. 设A＝{x|2x2－px＋q＝0},B＝{x|6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0},若A∩B＝{ },求A∪B.
6. 已知集合A和集合B各含有12个元素,A∩B含有4个元素,试求同时满足下面两个条件的集合C的个数:①CA∪B,且C中含有3个元素,②C∩A≠φ.
7. 已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0},B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0},C＝{x|x2－mx＋2＝0},且A∪B＝A,A∩C＝C,求实数a的值和m的取值范围.
(理发师悖论)某个小岛上只有一个理发师,因此小岛上的所有人理发都只好找这个理发师,一天,这个理发师自豪地说：“我给这个小岛上所有不给自己理发的人理发,也只给这些人理发!”

25

50+49＝99
7×14＝98，
我觉得是最多是36个数

1到50这50个数中，除以7的余数是1的有8个，其余的有7个
S中的元素除以7的余数最多有4种情况，从{0}{1,6}{2,5}{3,4}每个集合挑1个数，即0123或0124等等，若使S中元素最多，则必然所有除以7余1的数在S中，而且除以7余0的数最多有1个，所以最多为23个
例如
S={1,2,3,7,8,9,10,15,16,17,22,23,24,29,30,31,...

设a为S中的元素，则a除于7可能的余数为0，1，...，6共7个
设b也为S总的元素，则b除于7的余数与a除于7的余数的和不能为7
则余数为0只能有1个
余数为1，2，3可有22个
此时余数不能为4，5，6
故答案应为23个

错了 看错问题了
选择1到50中 余数之和不能是7
余数为0有7个
为1 有8 余数为2、3、4、5、6分别有7个
算余数之和不能为7的 所以余数为0只能选一个，1 必选这样数目能达到最多其余可选2，3
则共有23个

34个,将1-99中的能被7整除的数列出,然后每七个一组,找出两数之和等于7k的规律,最后有16个=7k的数,所以s最多有34个

23
S={1,2,3,7,8,9,10,15,16,17,22,23,24,29,30,31,36,37,38,43,44,45,50}