从1到20这20个数中，任取11个数，证明：必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数．

1^2=1 2^2=4 3^2=9 4^2=16 5^2=25 6^2=36 7^2=49 8^2=64 9^2=81 10^2=100 11^2=121 12^2=144 13^2=169 14^2=196 15^2=225 16^2=256 17^2=289 18^2=324 19^2=361 20^2=400

1-20平方：1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400

奇数 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
偶数 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
素数 1 2 3 5 7 11 13 17 19
合数 4 6 8 9 10 12 14 15 16 18 20

解题思路：根据题意，若每次取出2个数的和大于20，则两个数中至少有一个大于10，进而分两种情况讨论，①若取出的2个数都大于10，②若取出的2个数有一个小于或等于10，分别计算其所有的情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．

据题意，若每次取出2个数的和大于20，则两个数中至少有一个大于10，
可以分两种情况讨论，
①当取出的2个数都大于10时，则有
C210 种．
②若取出的2个数有一个小于或等于10，
当一个数取1时，另1个只能取20，有C₁¹种取法；
当一个数取2时，另1个只能取20或19，有C₂¹种取法；
…
当一个数取10时，另1个数只能取20，19，18，…，11中的一个，有
C110 种取法，

C210+1+2+3+…+10=100，
故选 B．

点评：
本题考点： 排列、组合及简单计数问题．

考点点评： 本题考查分类加法计数原理的运用，注意分类后，寻找规律，避免大量运算，其次注意分类讨论要不重不漏，属于中档题．

解题思路：首先把1，2，…，20分成10组，20个数中每一个都在某一组中且只在一组中，任取11个数，由抽屉原则至少有2个数来自同一组，这两个数中大数必是小数的倍数．

证明：考虑按照同一抽屉中，任意两数都具有倍数关系的原则制造抽屉．
把这20个数按奇数及其倍数分成以下十组，看成10个抽屉（显然，它们具有上述性质）：
{1，2，4，8，16}，{3，6，12}，{5，10，20}，{7，14}，{9，18}，{11}，{13}，{15}，{17}，{19}．
从这10个数组的20个数中任取11个数，根据抽屉原理可得，至少有两个数取自同一个抽屉．
由于凡在同一抽屉中的两个数都具有倍数关系，
所以这两个数中，其中一个数一定是另一个数的倍数•

点评：
本题考点： 数字问题．

考点点评： 本题主要考查抽屉原理的知识点，解答本题的关键是把20个数进行分组，然后利用抽屉原理进行解答，本题难度较大．

155040

1的平方根是±1
2的平方根是±1.414
3的平方根是±1.732
4的平方根是±2
5的平方根是±2.236
6的平方根是±2.449
7的平方根是±2.646
8的平方根是±2.828
9的平方根是±3
10的平方根是±3.162
11的平方根是±3.317
12的平方根是±3.464
13的平方根是±3.606
14的平方根是±3.742
15的平方根是±3.873
16的平方根是±4
17的平方根是±4.123
18的平方根是±4.243
19的平方根是±4.359
20的平方根是±4.472

1-10one[ n ]
two [ tu:]
three[ θri:]
four[ :]
five[ faiv ]
six[ siks ]
seven[ 'sev?n ]
eight[ eit ]
nine[ nain ]11-20eleven [ i'lev?n ]
twelve [ twelv ]
thirteen [ 'θ?:'ti:n ]
fourteen [ 'f?:'ti:n ]
fifteen [ 'fif'ti:n ]
sixteen [ 'siks'ti:n ]
seventeen [ 'sev?n'ti:n ]
eighteen [ 'ei'ti:n ]
nineteen [ 'nain'ti:n ]
twenty [ 'twenti ]
ten[ ten ]

氢H：1
氦He：2
锂Li：3
铍Be：4
硼B：5
碳C：6
氮N：7
氧O：8
氟F：9
氖Ne:10
钠Na：11
镁Mg：12
铝Al：13
硅Si：14
磷P:15
硫S:16
氯Cl：17
氩Ar：18
钾K：19
钙Ca:20

偶数且是质数：2,
奇数且是合数：9,15

解题思路：首先把1，2，…，20分成10组，20个数中每一个都在某一组中且只在一组中，任取11个数，由抽屉原则至少有2个数来自同一组，这两个数中大数必是小数的倍数．

证明：考虑按照同一抽屉中，任意两数都具有倍数关系的原则制造抽屉．
把这20个数按奇数及其倍数分成以下十组，看成10个抽屉（显然，它们具有上述性质）：
{1，2，4，8，16}，{3，6，12}，{5，10，20}，{7，14}，{9，18}，{11}，{13}，{15}，{17}，{19}．
从这10个数组的20个数中任取11个数，根据抽屉原理可得，至少有两个数取自同一个抽屉．
由于凡在同一抽屉中的两个数都具有倍数关系，
所以这两个数中，其中一个数一定是另一个数的倍数•

点评：
本题考点： 数字问题．

考点点评： 本题主要考查抽屉原理的知识点，解答本题的关键是把20个数进行分组，然后利用抽屉原理进行解答，本题难度较大．

2.3.5.7.11.13.17.19

合数指自然数中除了能被1和本身整除外,还能被其他的数整除的数
质数指只有1和它本身两个约数的自然数,
1既不是质数,也不是合数
由此,1到20中
2,3,5,7,11,13,17,19是质数,
4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20是合数

分为可以3n,3n+1,3n+2的个数分别为6,7,7 当所选3个数为3的倍数时,6选3为20种（ 字母在电脑上表达不到) 当所选的3个数为3n+1时,7选3为35种 当所选的3个数为3n+1时,7选3为35种 当其中一个为3的倍数,另外两个分别要取3n+1和3n+2 有6*7*7=254种 综上所得 20+35+35+254=344（种）

在自然数1到20中,既是奇数又是合数的有（9.15 ）.既不是偶数,又不是合数的有（1,3,5,7,11,13,17,19 ）

第1 first
第2 second
第3 third
第4 fourth
第5 fifth
第6 sixth
第7 seventh
第8 eighth
第9 ninth
第10 tenth
第11 eleventh
第12 twelfth
第13 thirteenth
第14 fourteenth
第15 fifteenth
第16 sixteenth
第17 seventeenth
第18 eighteenth
第19 nineteenth
第20 twentieth
第30 thirtieth
第40 fortieth
第50 fiftieth
第60 sixtieth
第70 seventieth
第80 eightieth
第90 ninetieth
第100 one hundredth
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解题思路：首先把1，2，…，20分成10组，20个数中每一个都在某一组中且只在一组中，任取11个数，由抽屉原则至少有2个数来自同一组，这两个数中大数必是小数的倍数．

证明：考虑按照同一抽屉中，任意两数都具有倍数关系的原则制造抽屉．
把这20个数按奇数及其倍数分成以下十组，看成10个抽屉（显然，它们具有上述性质）：
{1，2，4，8，16}，{3，6，12}，{5，10，20}，{7，14}，{9，18}，{11}，{13}，{15}，{17}，{19}．
从这10个数组的20个数中任取11个数，根据抽屉原理可得，至少有两个数取自同一个抽屉．
由于凡在同一抽屉中的两个数都具有倍数关系，
所以这两个数中，其中一个数一定是另一个数的倍数•

点评：
本题考点： 数字问题．

考点点评： 本题主要考查抽屉原理的知识点，解答本题的关键是把20个数进行分组，然后利用抽屉原理进行解答，本题难度较大．

1到20中,质数有2,3,5,7,11,13,17,19
和数有4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20
因为1既不是质数也不是和数
所以这些质数和和数的差就是132-77=55或77-132=-55

1 one 2 two 3 three 4 four 5 five 6 six 7 seven 8 eight 9 nine 10 ten 11 eleven 12 twelve 13 thirteen 14 fourteen 15 fifteen 16 sixteen 17 seventeen 18 eighteen 19 nineteen 20 twenty 第1 first 1st
第2 second 2nd
第3 third 3rd
第4 fourth 4th
第5 fifth 5th
第6 sixth 6th
第7 seventh 7th
第8 eighth 8th
第9 ninth 9th
第10 tenth 10th
第11 eleventh 11th
第12 twelfth 12th
第13 thirteenth 13th
第14 fourteenth 14th
第15 fifteenth 15th
第16 sixteenth 16th
第17 seventeenth 17th
第18 eighteenth 18th
第19 nineteenth 19th
第20 twentieth 20th

11个
在1到20这二十个数字中,至少抽出11个数字,才能保证这些抽出的数中一定存在两个数,其中一个数是另一个数的倍数.

不全

1到20中,既是奇数又是合数的数是(9,15 ),既是偶数又是质数的数是( 2).

可以这样来思考：
首先a有（1/2）的概率取值于11~20之间（包括11与20）,此时无论b取值为多少,都会比a小；
当a以另外（1/2）的概率取值于1~10之间（包括1与10）时,b的取值也在1~10之间（包括1与10）,可以先算出a=b的概率P(a=b)=(1/10)*(1/10)*10=(1/10),根据对称性,P(a>b)=P(ab)=(1/2)*1+(1/2)*(9/20)=29/40.

1one 2 two 3 three 4 four 5 five
6 six 7 seven 8 eight 9 nine 10 ten
11 eleven 12 twelve 13 thirteen 14 fourteen 15 fifteen
16 sixteen 17 seventeen 18 eighteen 19 nineteen 20 twenty

解题思路：有一对2和5相乘，末尾就有1个0，将这些数分解质因数，如12=2×2×3，这样因数2就会有很多，只需要数因数5的个数即可：5，10，15，20，共有4个数中含有5，积的末尾也就有4个0．

由分析可得1到20的所有数相乘，积的末尾一共有4个0．
故答案为：4．

点评：
本题考点： 乘积的个位数．

考点点评： 此题考查连乘积的末尾共有几个0：关键是理解一个2和一个5相乘得到一个0，还有可能是末尾直接有0的，因数2的个数足够多，所以只要看因数5的个数，即能确定积的末尾共有几个0．

C20(4)

万 吐 思锐 否（读四声） 发爱唔 色诶科斯 塞文 诶特 耐 特嗯
一来问 图爱唔 色儿替因 否替因 发爱唔替因 色诶科斯替因
塞文替因 诶替因 耐替因 团体
建议楼主尽量少用这种方法,很不科学,而且发出来的音也不准.如想学英语的话,最好从音标开始.

第四课课后生词

long fact=1,sum=0;应该改为long double fact=1L,sum=0L;或者fact 和sum改为double型；
long double 为常双精度型；你的结果有19位,long是不行的!long最多有十位!

1 one
2 two
3 three
4 four
5 five
6 six
7 seven
8 eight
9 nine
10 ten
11 eleven
12 twelve
13 thirteen
14 fourteen
15 fifteen
16 sixteen
17 seventeen
18 eighteen
19 nineteen
20 twenty
这些都是有规律的,只要掌握规律,就不用死记硬背了

序数词：第1 first 第2 second 第3 third 第4 fourth 第5 fifth 第6 sixth 第7 seventh 第8 eighth 第9 ninth 第10 tenth 第11 eleventh 第12 twelfth 第13 thirteenth 第14 fourteenth 第15 fifteenth 第16 sixteenth 第17 seventeenth 第18 eighteenth 第19 nineteenth 第20 twentieth

解题思路：（1）如果吴阳第一个上去抽签，一共有20个题目，其中4个内容不熟悉，她抽到熟练内容的可能性是：[20−4/20]；
（2）如果吴阳第11个上去抽签，还余下10个题目，他不熟练的题目已经被别人抽去了2个，还剩下2个不熟练的题目，他抽到不熟练题目的可能性是[2/10]=[1/5]；由此回答即可．

（1）（20-4）÷20=[4/5]；
（2）（4-2）÷（20-10），
=2÷10，
=[1/5]；
答：如果吴阳第一个抽签，他抽到熟悉的内容的可能性是[4/5]；如果吴阳第11个抽签，不熟悉的内容已经有2个被别人抽走，这里他抽到不熟悉的内容的可能性是[1/5]．

点评：
本题考点： 简单事件发生的可能性求解．

考点点评： 解答此题的关键是根据可能性大小的比较进行解答．

氢氦锂铍硼碳氮氧氟氖钠镁铝硅磷硫Cl氩钾钙

按最不利原则：先取20,19,18,17,16,15,14,13,12,11,之后不论取哪个数都会其中一个是另一个的倍数?懂了吗

根号1=1
2=1.414
3=1.732
4=2
5=2.236
6=2.449
7=2.646
8= 2.828
9=3
10=3.162
11=3.317
12=3.464
13=3.606
14=3.742
15=3.873
16=4
17=4.123
18=4.243
19=4.359
20=4.472

1 one
2 two
3 three
4 four
5 five
6 six
7 seven
8 eight
9 nine
10 ten
11 eleven
12 twelve
13 thirteen
14 fourteen
15 fifteen
16 sixteen
17 seventeen
18 eighteen
19 nineteen
20 twenty

one.two.three.four.five

one two three four five six seven eight nine ten
eleven twelve thirteen fourteen fifteen sixteen seventeen eighteen nineteen twenty

X+Y/X-Y=x+y(1/x-1)
因为x属于1到20,所以1/x-1必定为负数
取最大值时,y=1,此时问题转化为x+1/x-1,x=20时最大,最大值为19.05
取最小值时,y=20,此时问题转化为x+20/x-20,不等式定理,x=4*根号5时最小

首先1+2.+20=21*20/2=210
首先作为乘积的那一组个数不能超过5个数
否则乘积>1*2*3*4*5*6=720>210显然这种情况不能能满足一组的和等于另一组的乘积
显然乘积的个数不能能少于2个,否则乘积小于20但是和明显大于20
1,假如乘积的个数为2个,乘积的哪一组的两个数大的为a,小的为b
显然ab=210-a-b =>ab-a-b=210 =>(a-1)(b-1)=211 显然211为质数故a-1=1 b-1=211 =>a=2 b=212显然这两个数并不是完全属于1-20故不合题意
2,假如乘积的个数为3个,乘积的哪一组的三个数从小到大为a,b,c
显然abc=210-a-b-c =>abc+a+b+c=210
假如a>=5显然abc>=5*6*7=210 显然abc+a+b+c>210不合题意
故abc+b+c+1=210=>(b+1)(c+1)=210=2*3*5*7=21*10=14*15
b=13 c=14或者b=20 c=10 此时abc=182或者200
当a=2 =>2bc+b+c+2=210=>b=(208-c)/(2c+1)
=>2b=(417-(2c+1))/(2c+1)=417/(2c+1)-1
显然2b是整数,故417/(2c+1)是整数417=3*139考虑到2c+1在1-41这个范围内 =>2c+1=3 =>c=1对应的b=69显然不符合题意
当a=3时=>3bc+b+c=207 =>9bc+3b+3c+1=622
=>(3b+1)*(3c+1)=622=2*311=>3b+1=2显然不满足题意
当a=4时=>4bc+b+c=206 =>16bc+4b+4c+1=825=(4b+1)(4c+1)=3*5*5*11
13=4a+1=3显然abcd+a+b+c>=3*4*5*6+3+4+5+6>210 与上式矛盾
a=2时=>2bcd+b+c+d=208 假如b>=4显然2bcd+b+c+d>=2*4*5*6+4+5+6>210与上式矛盾=>b=3 =>6cd+c+d=205=>36cd+6c+6d+1=1231=(6c+1)(6d+1)=1231显然1231为质数=>6c+1=1 6d+1=1231显然不合条件
a=1时=>bcd+b+c+d=209 当b>=5时 =>bcd+b+c+d>=5*6*7+5+6+7>209
故b4cd+c+d=205=>16cd+4c+4d+1=821=(4c+1)(4d+1)=821显然821也是质数故不合题意
b=3=>(3c+1)(3d+1)=619 显然619也是质数故不合题意
b=2=>(2c+1)(2d+1)=415=5*83 =>b=2 d=41不合题意
3,假如乘积的个数为5个,乘积的哪一组的五个数从小到大为a,b,c,d,e
假如a>=2=>abcde+a+b+c+d+e>=2*3*4*5*6>210
故a=1 =>bcde+b+c+d+e=209假如b>=3同理可证bcde+b+c+d+e>209
=>b=2=>2cde+c+d+e=207 假如c>=4 显然2cde+c+d+e>=2*4*5*6+4+5+6>207矛盾=>c=3=>3de+d+e=204=>9de+3d+3e+1=613=(3d+1)(3e+1)=613显然613也是质数=>d=0 e=204矛盾
终上所述,乘积的可能取值为1*13*14=182或者1*9*20=180或者4*6*8=192

1*2*……*20=1*3*4*6*7*8*9*11*12*13*14*16*17*18*19*(2*5*10*15*20)
2*5*10*15*20=30000 故末尾有4个零.

能整除8就是能被8整除
所以是8的约数,是1,2,4,8,有4个
所以概率是4/20=1/5
能整除x,就是能被x整除

无论是什么样的自然数列,最小值一定是2,最大值一定是末数减去1

2,3,5,7,11,13,17,19共8个质数
4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20共11个合数
1既不是质数也不是合数

1²=1
2²=4
3²=9
4²=16
5²=25
6²=36
7²=49
8²=64
9²=81
10²=100
11²=121
12²=144
13²=169
14²=196
15²=225
16²=256
17²=289
18²=324
19²=361
20²=400
1³=1
2³=8
3³=27
4³=64
5³=125
6³=216
7³=343
8³=512
9³=729

one two three four five six eight nine ten
eleven twelve thirteen fourteen fifteen sixtee
seventeen eighteen nineteen twenty

奇数:
1,3,5,7,9,11,13,15,17,19
偶数:
2,4,6,8,10,12,14,16,18,20
质数:
2,3,5,7,11,13,17,19
合数:
4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20
既是奇数又是合数的:
9,15