在Rt△ABC中,∠C=90°,CA=CB=1,D是边AC上一动点,F是边BC上一动点,分别过点D、F作AC、BC的垂线

解题思路：以C为坐标原点，CB，CA，CC′分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，从而可证线线垂直，可求线线角，线面角，二面角，注意法向量的求解方法．

（1）以C为坐标原点，CB，CA，CC′分别为x轴，y轴，z轴，则B（1，0，0），A/(0，1，2)，C/(0，0，2)，M(
1
2，
1
2，2)
∴

A/B＝(1，−1，−2)，

C/M＝(
1
2，
1
2，0)
∴

A/B•

C/M＝0
∴A'B⊥C'M；
（2）∵

BA/＝(−1，1，2)，

CB/＝(1，0，2)
∴cos＜

BA/，

CB/＞ ＝
3

30＝

30
10
∴异面直线BA'与CB'所成角为arccos

30
10；
（3）设BN与平面CNB'所成的角为α，平面CNB'的一个法向量为（x，y，z）
∵

CN＝(0，1，1)，

CB/＝(1，0，2)
∴

y+z＝0
x+2z＝0
∴平面CNB'的一个法向量为（2，1，-1）
∵

NB＝(1，−1，−1)
∴sinα＝
2

3×
6＝

2
3
∴BN与平面CNB'所成的角为arcsin

2
3；
（4）设平面NBC的一个法向量为（a，b，c ），二面角A-BN-C的大小为β
∵

CB＝(1，0，0)，

CN＝(0，1，1)
∴

a＝0
b+c＝0
∴平面NBC的一个法向量为（0，1，-1）
∵平面ABN的一个法向量为（[1/2，
1
2，0）
∴cosβ＝
1
2]，∴β=60°
∴二面角A-BN-C的大小为60°

点评：
本题考点： 二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．

考点点评： 本题的考点是与二面角有关的立体几何综合问题，主要考查线线垂直，线面角、二面角等，关键是建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解．

你那个“A1ADE 中点”是“A1A的中点”吧~
当你画图后,
连结AB1,
则因为M、N分别是A1B1,A1A的 中点,
三角形的中位线定理,
可得MN//AB1且MN为AB1的1/2,
所以,
我们只要求出AB1的长就可得出MN了,
因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中角BCA=90°,
所以角A1C1B1=90°,
且角B1BA=90°（已知）,
在△ABC中,
由勾股定理得,
AB^2=AC^2+BC^2
=2
AB=√2或AB=-√2（舍去）,
同理在正△B1BA中,
B1A^2=AB^2+B1B^2
=√2^2+2^2
=6
所以,
MN=1/2B1A
=1/2*6
=3
所以,MN为3.
PS:这么详细,希望你明白哦,几何题中如果出现像这样的中点问题都应试一下用以上中位线的方法,要记住咯~

你那个“A1ADE 中点”是“A1A的中点”吧~
当你画图后,
连结AB1,
则因为M、N分别是A1B1,A1A的 中点,
三角形的中位线定理,
可得MN//AB1且MN为AB1的1/2,
所以,
我们只要求出AB1的长就可得出MN了,
因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中角BCA=90°,
所以角A1C1B1=90°,
且角B1BA=90°（已知）,
在△ABC中,
由勾股定理得,
AB^2=AC^2+BC^2
=2
AB=√2或AB=-√2（舍去）,
同理在正△B1BA中,
B1A^2=AB^2+B1B^2
=√2^2+2^2
=6
所以,
MN=1/2B1A
=1/2*6
=3
所以,MN为3.
PS:这么详细,几何题中如果出现像这样的中点问题都应试一下用以上中位线的方法,要记住咯~

（1）建立如下图所示的空间直角坐标系．
∵CA=CB=1，AA₁=2，
∴A（1，0，0），B（0，1，0），A₁（1，0.2），B₁（0，1，2），
∴

CB1=（0，1，2），

BA1=（1，-1，2），
设异面直线BA₁与CB₁夹角为θ，
则cosθ=
|

CB1?

BA1|
|

CB1|?|

BA1|=
3

6×
5=

解题思路：（1）由已知中CA=CB=1，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点，结合正棱柱的几何特征，易得∠ANC＝∠A1NC1＝

π

4

，进而C₁N⊥NC，由CA⊥CB，BC⊥CC₁，结合线面垂直的判定定理及性质可得BC⊥C₁N，最后再由线面垂直的判定定理得到C₁N⊥平面BCN；
（2）（方法一）以C为原点，CA、CB、CC₁在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求直线B₁C的方向向量与平面C₁MN的一个法向量，代入向量夹角公式可得直线B₁C与平面C₁MN所成角θ的正弦值．
（方法二）根据相似三角形的判定可得，△BAN＋～△NA1M，进而BN⊥MN，结合（1）中BN⊥C₁N，可得BN⊥平面C₁MN，延长B₁B到B₂，延长C₁C到C₂，使BB₂=CC₂=2，连接BC₂、NC₂，解△NBC₂中，结合BN是平面C₁MN的法向量，由所作知BC₂∥B₁C，可得答案．

证明：（1）∵CA=CB=1，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点．
∴CA=AN=NA₁=A₁C₁=1，
又由AA₁⊥底面ABC，AA₁⊥底面A₁B₁C₁
∴∠ANC＝∠A1NC1＝
π
4…（1分），
∴∠CNC1＝
π
2，
即C₁N⊥NC…（2分），
因为CA⊥CB，BC⊥CC₁，AC∩CC₁=C，
所以BC⊥平面CAA₁C₁…（3分），
又∵C₁N⊂平面CAA₁C₁，
∴BC⊥C₁N…（4分），
因为BC∩NC=C，
所以C₁N⊥平面BCN…（5分）
（2）（方法一）以C为原点，CA、CB、CC₁在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系…（6分），
则C（0，0，0）、C₁（0，0，2）、B₁（0，1，2）…（7分），M(
1
2，
1
2，2)、N（1，0，1）…（8分），


C1M＝(
1
2，
1
2，0)、

C1N＝(1，0，−1)、

CB1＝(0，1，2)…（9分），
设平面C₁MN的一个法向为

n＝(a，b，c)，则

点评：
本题考点： 用空间向量求直线与平面的夹角；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．

考点点评： 本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的判定，是空间线面关系的综合应用，难度较大，属于难题．

1、∵S△ABC=1/2CA×CB=1/2
S长方形CDEF=1/2
∴S△PEQ=S△ADP+S△BFQ
∵CA=CB,∠ACB=90°,ED⊥CA,EF⊥CB
∴∠A=∠B=∠APD=∠BQF=∠EPQ=∠EQP=45°
∴AD=PD,PE=QE,BF=QF
∵CDEF是长方形
∴DC=EF=CA-AD=1-1/4=3/4
设BF=QF=X,那么QE=PE=3/4-X
∴由S△PEQ=S△ADP+S△BFQ
得：1/2PE²=1/2AD²+1/2BF²
(3/4-X)²=(1/4)²+X²
9/16-3/2X+X²=1/16+X²
X=1/3
∴在等腰直角三角形BFQ中：BQ²=BF²+QF²=2BF²=2×(1/3)²
BQ=√2/3
2 、CD=X
那么AD=PD=1-X,
设BF=QF=Z, 那么PE=QE=X-Z
∵由：S△PEQ=S△ADP+S△BFQ
得：1/2PE²=1/2AD²+1/2BF²
（X-Z)²=(1-X)²+Z²
Z=(2X-1)/2X
∴Y=S△CPQ
=S△ABC-S△ACP-S△BCQ
=1/2CA×CB-1/2CA×PD-1/2CB×QF
=1/2×1×1-1/2×1×(1-X)-1/2×1×(2X-1)/2X
=1/2-1/2(1-X)-(2X-1)/4X
=X/2-(2X-1)/4X
=X/2-1/2+1/4X(0

（I）∵C₁A₁=C₁B₁，且N是棱A₁B₁的中点，∴C₁N⊥A₁B₁．
由直三菱柱ABC-A₁B₁C₁可得：AA₁⊥C₁N，又AA₁∩A₁B₁=A₁，
∴C₁N⊥平面A₁B．
∴C₁N⊥A₁B．
（II）A₁（1，0，2），B（0，1，0），B₁（0，1，2）．
∴

A1B=（-1，1，-2），

CB1=（0，1，2）．
∴cos＜

A1B，

CB1＞=


A1B?

CB1
|

A1B||

（1）矩形CDEF面积S=1/2AD=1/4,AC=BC=1,∴CD=3/4,PD=AD=1/4∴CF=DE=2/3,∴QE=PE=5/12,QF=BF=1/3∴BQ=√2 /3（2）CD=x,PD=AD=1－xDE=1/2x,QE=PE=1/2x－x+1PQ=√2（1/2x－1+x）y=1/2*1/√2*√2（1/2x－1+x）=1/4x＋x/2...

根号6
1/2
C1M 垂直A1B1 平面ABC垂直平面ABB1A1 所以C1M垂直平面ABB1A1 则结论得证

1）由AD=1/4,AC=1,可得：CD=3/4
又因为：长方形CDEF的面积为1/2
所以,可得：CF=2/3
所以：BF=BC-CF=1/3
在直角三角形BFQ中,由角B=45度,可得：BQ=√2BF=√2/3
2）由CD=x,长方形CDEF的面积为1/2,可得：CF=1/(2x)
由：S三角形CPQ=S三角形ABC-S三角形ACP-S三角形CBQ
得：y=x/2+1/(4x)-1/2
定义域：（1/2,1）
3）易见：角A=角B=45度
由2）可得：AD=x,CF=1/(2x),BF=1-1/(2x)
利用直角三角形ADP和BFQ,可得：AP=√2(1-x),BQ=√2[1-1/(2x)]
所以：AQ=AB-BQ=√2/(2x),BP=AB-AP=√2x
所以：AC：BP=1:√2x
AQ：BC=√2/(2x)：1=1：√2x
所以：AC：BP=AQ：BC
又因为：角A=角B
所以：△ACQ∽△BPC

你学过向量么?其实画个直角坐标系,用向量做这个题也不错的～
连接AB1交A1B于点O,取AC中点E,连接OE
那么OE是三角形ACB1的中线,所以OE=B1C/2=（根号5）/2（所有边都知道长度,自己算吧～）
然后OB=A1B/2=（根号5）/2
在底边三角形ABC中,E是AC中点,所以BE也可以算出来=（根号5）/2
所以等边三角形OEB,角EOB=60度
OE‖CB1,所以BA1 CB1所成的角就是角EOB,60度

证明：（1）∵CA=CB=1，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点． ∴CA=AN=NA1=A1C1=1， 又由AA1⊥底面ABC，AA1⊥底面A1B1C1 ∴∠ANC＝∠A1NC1＝ π 4 …（1分）， ∴∠CNC1＝ π 2 ， 即C1N⊥NC…（2分）， 因为CA⊥CB，BC⊥CC1，AC∩CC1=C， 所以BC⊥平面CAA1C1…（3分）， 又∵C1N⊂平面CAA1C1， ∴...

答案,请看图,……

1）由AD=1/4,AC=1,可得：CD=3/4
又因为：长方形CDEF的面积为1/2
所以,可得：CF=2/3
所以：BF=BC-CF=1/3
在直角三角形BFQ中,由角B=45度,可得：BQ=√2BF=√2/3
2）由CD=x,长方形CDEF的面积为1/2,可得：CF=1/(2x)
由：S三角形CPQ=S三角形ABC-S三角形ACP-S三角形CBQ
得：y=x/2+1/(4x)-1/2
定义域：（1/2,1）
3）易见：角A=角B=45度
由2）可得：AD=x,CF=1/(2x),BF=1-1/(2x)
利用直角三角形ADP和BFQ,可得：AP=√2(1-x),BQ=√2[1-1/(2x)]
所以：AQ=AB-BQ=√2/(2x),BP=AB-AP=√2x
所以：AC：BP=1:√2x
AQ：BC=√2/(2x)：1=1：√2x
所以：AC：BP=AQ：BC
又因为：角A=角B
所以：△ACQ∽△BPC

延伸平面AA1B1B,作B1E//A1B,交AB的延长线于E,连结CB1、CE,A1B,
∵AC=BC=1,〈ACB=90°,
∴△ACB是RT等腰△,
AB=√2,〈ABC=45°,
∵A1B1//AB,A1B//B1E,
∴四边形A1B1EB是平行四边形,
∴B1E=A1B,
根据勾股定理,
A1B=√6,B1E=A1B=√6,
CB1=√5,
〈CBE=135°,
根据余弦定理,
CE^2=BC^2+BE^2-3BC*BEcos