f(x)=2cosxsin(x+π/3)+sinx(cosx-根号3sinx) 化简

（1）f（x）=2cosx•（[1/2]sinx+

3
2cosx）-
3sin²x+sinxcosx
=sinxcosx+
3cos2x−
3sin2x+sincosx
=sin2x+
3cos2x（3分）
=2sin（2x+[π/3]），（4分）
由[π/2+2kπ≤2x+
π
3≤2kπ+
3
2]π，k∈Z，得kπ+[π/12≤x≤kπ+
7
12]π，k∈Z（6分）
故函数f（x）的单调递减区间为[kπ+[π/12，kπ+
7π
12]]，k∈Z；（7分）
（2）由（1）得到函数y=2sin（2x+[π/3]），
此函数按向量

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

考点点评： 此题考查了三角函数的恒等变换，以及平移的规律，涉及的知识有：两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的图象与变换，以及正弦函数的对称性，其中利用三角函数的恒等变换把函数解析式化为一个角的三角函数是解本题的关键．

∵f（x）=2cosxsin（x+[π/6]）-[1/2]
=2cosx[

3
2sinx+[1/2]cosx]-[1/2]
=

3
2sin2x+[1+cos2x/2]-[1/2]
=sin（2x+[π/6]），
∵-[π/6]≤x≤[π/4]，
∴-[π/6]≤2x+[π/6]≤[2π/3]，
∴-[1/2]≤sin（2x+[π/6]）≤1．
∴M=1，m=-[1/2]．
故选A．

点评：
本题考点： 三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．

考点点评： 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．

（1）f（x）=sinxcosθ+cosx•sinθ=sin（x+θ）
∴π+θ＝−
π
2+2kπ⇒θ＝−
3
2π+2kπ，
∴θ＝
π
2
（2）f(x)＝sin(x+
π
2)＝cosx
∴f(2x−
π
3)＝cos(2x−
π
3)＝
1
3
由[3/4π＜x＜π⇒
3
2π＜2x＜2π⇒
3
2π−
π
3＜2x−
π
3＜2π−
π
3]
∴sin(2x−
π
3)＝−
1−
1
9＝
−2
3
2
∴sin2x＝sin[(2x−
π
3)+
π
3]=
1
2sin(2x−
π
3)+

3
2cos(2x−
π
3)=
−1
2•
2
3

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；二倍角的正弦．

考点点评： 本题主要考察三角函数中的恒等变换应用和二倍角的正弦公式的应用，属于中档题．

（1）f（x）=cosxsinφ-2sinxsin2
φ
2+sinx
=cosxsinφ-2sinx[1−cosφ/2]+sinx
=sinxcosφ+cosxsinφ
=sin（x+φ）…（3分）
∵函数f（x）在x=π处取最小值，
∴sin（π+φ）=-1，
∴sinφ=1，又0＜φ＜π，
∴φ=[π/2]…（6分）
（2）由（1）知f（x）=sin（x+[π/2]）=cosx，
∵f（A）=

3
2，故cosA=

3
2，又A为△ABC的内角，故A=[π/6]，…（8分）
又a=1，b=
2，
∴由正弦定理得：[a/sinA]=[b/sinB]，也就是sinB=[bsinA/a]=
2×[1/2]=

2
2，
∵b＞a，
∴B=

点评：
本题考点： 正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦．

考点点评： 本题考查两角和与差的正弦函数，考查二倍角公式，考查正弦定理的应用，求得f（x）=cosx是关键，属于中档题．

（Ⅰ）由已知，有f（x）=cosx•（[1/2]sinx+

3
2cosx）-
3cos²x+

3
4
=[1/4]sin2x-

3
2cos²x+

3
4
=[1/4]sin2x-

3
2×[1+cos2x/2]+

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．

考点点评： 本题考查三角恒等变换及其应用，着重考查正弦函数的单调性、周期性及最值，属于中档题．

（Ⅰ）f(x)＝2cosx•sin(x−
π
6)−
1
2=
3sinxcosx-cos²x-[1/2]=

3
2sin2x−
1
2cos2x-1
=sin(2x−
π
6)-1
∴f（x）的最小值是-2，最小正周期为T=[2π/2]=π；
（Ⅱ）f（C）=sin(2C−
π
6)-1=0，则sin(2C−
π
6)=1
∵0＜C＜π，∴C=[π/3]
∵sinB=2sinA，∴由正弦定理可得b=2a①
∵c＝
3，∴由余弦定理可得c²=a²+b²-ab=3②
由①②可得a=1，b=2．

点评：
本题考点： 解三角形；三角函数中的恒等变换应用．

考点点评： 本题考查三角函数的化简，三角函数的性质，考查余弦定理、正弦定理的运用，属于中档题．

f（x）=2cosxsin（x+[π/3]）-
3（sinx）²+sinxcosx=2cosx（sin[x/2]+
3cos[x/2]）-
3[1−cos2x/2]+[1/2]sin2x
=sinxcosx+
3
1−cosx
2-

3
2+
3[cos2x/2]+[sin2x/2]
=sin2x+

点评：
本题考点： 三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．

考点点评： 本题考查三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，考查计算能力，逻辑思维能力，是中档题．

（1）由三角函数的公式化简可得
f（x）=2cosx（[1/2]sinx+

3
2cosx）-
3sin2x+sinx•cosx
=2sinxcosx+
3cos²x−
3sin2x=sin2x+
3cos2x
=2sin（2x+[π/3]），
由2kπ+[π/2]≤2x+[π/3]≤2kπ+[3π/2]，可得kπ+[π/12]≤x≤kπ+[7π/12]，
故f（x）的单调递减区间为[kπ+[π/12]，kπ+[7π/12]]（k∈Z）．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+[π/3]），
∴f（x-m）=2sin（2x-2m+[π/3]），
∵f（x-m）为偶函数，
∴图象关于y轴对称，
由-2m+[π/3]=kπ+[π/2]，解得m=−
kπ
2−
π
12，k∈Z
∴当k=-1时，m取最小正值为m=[5π/12]．

点评：
本题考点： 两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．

考点点评： 本题考查三角函数的计算公式，涉及函数的单调性和对称性，属中档题．

（Ⅰ）f（x）=2cosxsin（x-A）+sinA
=2sinxcosxcosA-2cos²xsinA+sinA
=sin2xcosA-cos2xsinA
=sin（2x-A），
∵f（x）在x=[5π/12]处取得最大值，
∴2×[5π/12]-A=2kπ+[π/2]，k∈Z，
∴A=-2kπ+[π/3]，k∈Z，
∵A∈[0，π]，
∴A=[π/3]．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x-[π/3]），
∵x∈[-[π/6]，[π/3]]，
∴（2x-[π/3]）∈[-[2π/3]，[π/3]]，
∴f（x）在区间[-[π/6]，[π/3]]上的最大值和最小值分别为

3
2，-1

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．

考点点评： 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了基础知识的综合运用．

（Ⅰ）∵f（x）=cosx•sin（[5π/6]-x），∴f（[π/3]）=cos[π/3]sin[π/2]=[1/2]×1=[1/2]．
（Ⅱ）∵f（x）=cosx•sin（[5π/6]-x）=cosx（[1/2]cosx+

3
2sinx）
=[1/2•
1+cos2x
2]+

3
4sin2x=[1/4]+[1/2]cos（2x-[π/3]），
∴4f（x）＜1即 [1/2]cos（2x-[π/3]）＜0，∴2kπ+[π/2]＜2x-[π/3]＜2kπ+[3π/2]，k∈z．
解得 kπ+[5π/12]＜x＜kπ+[11π/12]，
∴使4f（x）＜1成立的x的取值集合为 {x|kπ+[5π/12]＜x＜kπ+

点评：
本题考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数中的恒等变换应用．

考点点评： 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的单调性，属于中档题．