∫dx/(cosx+2sinx)^2在0到π/2的定积分

（I）由已知可得f（x）=（cosx+2sinx）（cosx-sinx）+2sinxcosx（1分）
=cos ² x-sinxcosx+2sinxcosx-2sin ² x+2sinxcosx=cos ² x+3sinxcosx-2sin ² x
=
1
2 (1+cos2x)+
3
2 sin2x+(cos2x-1) =
3
2 (sin2x+cos2x)-
1
2 =
3
2
2 sin(2x+
π
4 )-
1
2 （6分）
由 2kπ-
π
2 ＜2x+
π
4 ＜2kπ+
π
2 得： kπ-
3π
8 ＜x＜kπ+
π
8 （8分）
即函数f（x）的单调递增区间为 (kπ-
3π
8 ，kπ+
π
8 ) （k∈Z）．（9分）
（II）由（I）有 f(x)=
3
2
2 sin(2x+
π
4 )-
1
2 ，
∴ f(x ) max =
3
2 -1
2 ．（10分）
所求x的集合为 {x|x=kπ+
π
8 ，k∈Z} ．（12分）

lim(x→0) (cosx+2sinx)^(1/x)
=lim(x→0) [1+(cosx-1+2sinx)]^(1/x)
=lim(x→0) {[ 1 + (cosx-1+2sinx) ]^[1/(cosx-1+2sinx)]}^[(cosx-1+2sinx)(1/x)]
∵lim(x→0) {[ 1 + (cosx-1+2sinx) ]^[1/(cosx-1+2sinx)]} = e
∵lim(x→0) [(cosx-1+2sinx)(1/x)]
=lim(x→0) [cosx-1]/x + lim(x→0) 2sinx/x
=lim(x→0) [-x^2/2]/x + lim(x→0) 2x/x
= 0+2 = 2
= e^2

解题思路：（I）求出f（x）=a•b的表达式，然后化简为一个角的一个三角函数的形式，结合正弦函数的单调性，求出函数f（x）的单调递增区间；
（II）结合（I）利用正弦函数的有界性，求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的集合．

（I）由已知可得f（x）=（cosx+2sinx）（cosx-sinx）+2sinxcosx（1分）
=cos²x-sinxcosx+2sinxcosx-2sin²x+2sinxcosx=cos²x+3sinxcosx-2sin²x
=[1/2(1+cos2x)+
3
2sin2x+(cos2x−1)=
3
2(sin2x+cos2x)−
1
2＝
3
2
2sin(2x+
π
4)−
1
2]（6分）
由2kπ−
π
2＜2x+
π
4＜2kπ+
π
2得：kπ−
3π
8＜x＜kπ+
π
8（8分）
即函数f（x）的单调递增区间为(kπ−
3π
8，kπ+
π
8)（k∈Z）．（9分）
（II）由（I）有f(x)＝
3
2
2sin(2x+
π
4)−
1
2，
∴f(x)max＝
3
2−1
2．（10分）
所求x的集合为{x|x＝kπ+
π
8，k∈Z}．（12分）

点评：
本题考点： 平面向量数量积的运算；正弦函数的单调性；三角函数的最值．

考点点评： 本题考查平面向量的数量积，三角函数的单调性，三角函数的最值，考查学生计算能力，是中档题．

用（cosx）^2+（sinx）^2=1
sin(2x)=2sinx*cosx
cos2x=1-2(sinx)^2=2(cosx)^2-1
等规律算
由于题目中sinx2cosx不明其意 不能得出结果
你就按这个规律自己算吧

解由y=cos^2x+2sinx-2
=1-sin^2x+2sinx-2
=-sin^2x+2sinx-1
=-（sinx-1）^2
故当sinx=1,y有最大值0
当sinx=-1,y有最小值=-4

解由y=cos²x+2sinx
=1-sin^2x+2sinx
=-sin^2x+2sinx+1
令t=sinx
由-π/6≤x≤5π/6
即-1/2≤sinx≤1
即-1/2≤t≤1
故y=-sin^2x+2sinx+1
变为y=-t^2+2t+1 t属于[-1/2,1]
故y=-t^2+2t+1
=-（t-1）^2+2
故当t=1时,y有最大值2
当t=-1/2时,y有最小值-1/4
故原函数的值域为[-1/4,2].

解题思路：把函数化简得：f（x）=cosx+2sinx=

5

sin（x+θ．），cosθ=

2

5

，sinθ=

1

5

，可判断θ∈(0，

π

4

)，再根据函数单调性求出最小值．

∵函数f（x）=cosx+2sinx=
5sin（x+θ．），cosθ=
2

5，sinθ=
1

5，
∴可判断θ∈（0，[π/4]），
∵θ≤x+θ≤
π
2+θ＜
3π
4，
∴根据单调性可知
当x+θ=θ时，f（x）_min=sinθ=

5
5，
故答案为：

5
5

点评：
本题考点： 三角函数的最值．

考点点评： 本题考查了三角函数的性质，利用单调性求最值，求最大值容易一些，但是求最小值时要根据系数判断哪个地方取到，比较基础．

y=2(sinx)^2+2sinx-1=2(sinx+1/2)^2-3/2
-1/2≤sinx+1≤3/2
0≤sinx+1≤9/4
-3/2≤y≤3

f(x)=√5*[2/√5*sinx+1/√5*cosx]
令sina=1/√5
则因为(sina)^2+(cosa)^2=1
所以2/√5=cosa
所以f(x)=√5(sinxcosa+cosxsina)=√5sin(x+a)
-1

(sinx)^2+(cosx)^2=1
sinx*cosx=[(sinx+cosx)^2-((sinx)^2+(cosx)^2)]=-120/169
所以sinx与cosx是方程a^2+7a/13-120/169=0的两个根,即-15/13和8/13
所以有两个可能,-24/13和1/13

y=cosx+2sinx=√5sin(x+a) sina=√5/5 cosa=2√5/5故取a在(0,π/2)范围内
又由x+a∈(a,a+π),显然在(a,π/2]上sin(x+a)单调递增,在(π/2,π+a)上单调递减
当x+a∈[a,a+π]时,
显然在x+a=a+π时sin(x+a)取最小值
此时y=√5sin(π+a)=-√5sina=-√5*√5/5=-1
最大值为y=√5sinπ/2=√5
即当x+a∈(a,a+π)时,a+π取不到
即值域为(-1,√5]