泰勒公式证明

泰勒公式：
f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f^(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)
泰勒中值定理：
若函数f(x)在开区间（a,b）有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于（x-x.）多项式和一个余项的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间,该余项称为拉格朗日型的余项.
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数,不是f(n)与x.的相乘.）
证明：
我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx）,其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0,所以在近似计算中往往不够精确)
于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：
P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n 来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式.
设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),
于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An.显然,P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!.
至此,多项的各项系数都已求出,得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n.

接下来就要求误差的具体表达式了：
设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0.所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0.
根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间)
连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!,这里ξ在x.和x之间.但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数,故P(n+1)(x)=0,于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x).
综上可得,余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1).一般来说展开函数时都是为了计算的需要,故x往往要取一个定值,此时也可把Rn(x)写为Rn.