度量矩阵是什么?有何用?

lxl199410282022-10-04 11:39:541条回答

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wb1983628 共回答了11个问题 | 采纳率100%: 就是欧氏空间在一组基下互相做内积形成的对称阵M,只要知道两个向量a,b在这个基下的坐标α,β,则(a,b)=α^T*M*β; 1年前

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怎么证明内积在任意一组基下的度量矩阵是可逆阵 xymt1年前1: tonglingzhi 共回答了15个问题 | 采纳率93.3%

两种证法.
可以用合同变换的性质:
在不同基下的度量矩阵相差一个合同变换.
合同的矩阵秩相等.
而在标准正交基下(一定存在),度量矩阵为单位阵,是满秩的.
因此度量矩阵都是满秩的,即可逆.
也可以用定义证明:
设内积在一组基ε1,ε2,...,εn下的度量矩阵为A.
假设A不可逆,则存在非零列向量X满足AX = 0.
考虑以X为坐标的向量v = (ε1 ε2 ...εn)X.
则(v,v) = X'AX = 0,但由X非零,ε1,ε2,...,εn是一组基,有v非零.
与内积的正定性矛盾.
因此A一定可逆.

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前一题有点问题
后一题的关键是除法,对于代数元可以构造出1/f(α),对于超越元除法是不封闭的,有理函数才能构成域

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以下则是数量矩阵式正定矩阵的证明：

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