抽象函数的单调性已知定义在R上的函数y=f(x)满足f（-x）=-f（x）,他在（0,+无限大）上是增函数,且f(x)求

以a=1、b=0代入,得：
f(1)=f(1)×f(0)
因为f(1)=2,则：
f(0)=1
以a=－1、b=代入,得：
f(0)=f(－1)f(1)
f(－1)=1/2
因为f(0)=f[(x)＋(－x)]=f(x)f(－x)=1
若x>0,则：f(x)>1,从而00、x1－x2>0,则f(x1－x2)>1,即：f(x1－x2)－1>0
得：
f(x1)－f(x2)>0
f(x1)>f(x2)
所以函数f(x)在R上递增.
f(2)=f(1＋1)=f(1)f(1)=4,则：
f(x＋1)

这是个PDF,例谈,我觉得不错.你看看.
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已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)+1/2且当
x>1/2时,f(x)>0,又f(1/2)＝0 判断函数f(x)的单调性并证明
因为对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)+1/2
所以令m=x,n=1/2
所以f(x+1/2)=f（x）+1/2
因为x+1/2>x,而f（x+1/2）>f(x)
所以是单调递增的.

设x>y>0,则f(x)-f(y)=f(x/y),因x/y>1,由题设有f(x/y)>0,则f(x)-f(y)=f(x/y)>0
可知f(x)在其定义域内单调递增.
又因f(x/y)=f(x)-f(y),容易推导出：
f(xy)=f(x)+f(y);
f(1)=0
f(1/x)=-f(x)
则f(x+3)-f(1/x)=f(x+3)+f(x)=f(x^2+3x)

同学,你问的太笼统了,再说,抽象函数的单调性是课本上介绍函数单调性之前必须介绍的重点,没有必要问.至于方法主要有求导法,比较法（包括作商法和作作差法）,图像法（适合超越函数和具有一定性质的函数的单调性）

1.用x+t换x得:f=f 得f=f无论x取何值等式都成立,所以该函数的周期为2t
第2题做法一样,看样字...数学书要多看啊

微分、积分是大学才学的,高中做题最好不要用先微分,再积分的方法解题,再说高中也不会讲积分的公式,你有这种思想也解不出结果.
抽象函数的问题与微积分好像没有什么关系.

由对数函数的性质所决定的：loga xy=loga x + loga y
设f(N)=logaN+logbN
所以f(xy)=log a xy+logb xy=loga x+loga y+logb x+logb y=(loga x+logb x)+(logb x+logb y)=f(x)+f(y)

增减性
增+增=增
增-减=增
减+减=减
减-增=减
奇偶性：
奇+奇=奇
奇-奇=奇
偶+偶=偶
偶-偶=偶
奇×奇=偶
奇÷奇=偶
偶×偶=偶
偶÷偶=偶
奇×偶=奇
奇÷偶=奇
就这么多规律,还有就是复合函数,增减性是 同增异减
比如：2^（x-2）中x-2是增函数,2^x是增函数,增减性相同,所以是增函数

点(a-x,0)和(a+x,0)是关于x=a轴对称的,因为他们的中点是 [(a-x)+(a+x)]/2=a.
而 f(a-x)=f(a+x)
这不就是说明 关于x=a对称的两点的函数值相等吗?也就是说,x=a是f的对称轴.

变形可以.因为容易得到函数是奇函数,因此对正整数m>0,
f(m)＝mf(1),那么对负整数m

1
函数f(x)堵塞定义域为[0,4],是什么意识?
2
【1,5】
3
【-2,2】
4
【-1,3】
5
【-1,5/3】

先令y=0,则有2f(x)=2f(x)f(0)
则有f(0）=1
再令x=0,则有f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)
则有f(-y)=f(y）,为偶函数,得证

f(1)=log2(3)
f(-1)=log2(3/2)
f(1)不等于f(-1),所以f(x)不是偶函数
f(0)=1不等于0
所以f(x)不是奇函数
综上,f(x)是非奇非偶函数

看了两题的解法均是完全正确的,解法一虽用自然数来代替实数进行运算,推广到实数是可以的,但是两种完全正确的解法却得到了互相矛盾的结论,如何来解释这种现象呢?
实际上这并不奇怪,在数学上我们经常用这种方法来证明一个论断或命题不真.如有一个命题A,该命题为真的情况下推出互相矛盾的命题,或者说命题A蕴含了一个矛盾,则命题A为假,也即命题A蕴含命题B,命题A蕴含命题非B,则命题A为假.逻辑学中有这样一个结论,假命题可导出任意命题.
对于该题的分析,设命题A：存在函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+2y(x+y),然后我们利用了正确的推导得出了两个互相矛盾的命题,由此可得“存在函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+2y(x+ y)”是不真的,实际上该函数条件中已明显蕴含了矛盾,已有人看出当x=1,y=-1代入条件式f(x+y)=f(x)+2y(x+ y)得,f(0)=f(1),再将x=0 y=1代入条件式又得f(1)=f(0)+2,于是得到0=2的结果,这显然得出了错误的结果.题中所给的函数是不存在的,该题的前提已蕴含了矛盾,由此得出两种不同的结果是毫不奇怪的,还有可能,利用正确的推导得到第3种,第4种等等结果.
总之,该题条件矛盾,如果将该题改为这样:证明不存在对任意实数x,y满足条件f(x+y)=f(x)+2y(x+y)的函数,假设该函数存在,由此得出的两种矛盾的结果恰好反证了该函数不存在.

(1-x)/(1+x)=t
1-x=t(1+x)=t+tx
tx+x+t-1=0
(t+1)x=1-t
x=(1-t)/(1+t)

就是复合函数求导
f（-x）=f（-x)' (-1)= -f(-x)'
f(sinx)=f(sinx)' (sinx)'=cosx f(sinx)'
f(f(f(x)))=f(f(f(x)))' f(f(x))'f(x)'
就是层层剥茧,由外到里,一层一层薄皮.耐心点就可以了
请指教

所谓抽象函数就是没有具体解析式和图像的函数.f(x)=f(4-x)中4-x这个整体是f(x)中的x所以f(-x)=f(x-4).至于怎么学函数,就得你跟老师好好配合了,跟着老师的思路走,个人主观上要努力.数学就是得多做,做得越多越好.

(1)令x=0,y=0代入f(x+y)=f(x)+f(y)
f（0）=0
令y=-x代入证明f(x)为奇函数
（2）令x=y=1,
代入得f（2）=6
令x=2,y=1代入
f（3）=9
奇函数f(-3)=-9

f(x(x-5)/p)大于等于2
f(x)=f(x/y)+f(y)
f(9)=f(9/3)+f(3)
=2f(3)
=2
f(x(x-5)/p)大于等于f(9)
因为f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数
又f（9）大于f（3）
所以f(x)单调递增
所以x(x-5)/p大于等于9
x^2-5x-9p大于等于0
是啊,我觉得太烦了,所以不算了.

f(x/y)=f(x)-f(y)等价于对数函数y=logx
设f（x)的定义域R+,上取X1 X2 且X1＜X2 X2/X1＞1
f(X2)-f(X1)=f(X2/X1)＜0
所以f（x）的为减函数
f（x/y)+f(y)=f(x)等价于f(x)+f(y)=f(xy)
f（1/2)=1 令x=0 x=0 f(1)=0 f（1/4)=2
f(2)+f(1/4)=f（1/2)=1 f(2)=-1 f(4)=f(2)+f(2)=-2
f（x）+f（5-x）=f(5x- xx)≥f(4)
f（x）的为减函数
所以（5x- xx)小于等于4
就可以解了X

这个题目默认y是x的函数,而等号右边的f(x+y)也是x的函数,但自变量却是x+y
因此,除了对f进行求导外,还要对x+y进行求导,因此x+y也是x的函数

通俗地讲,f其实可认为是自变量在取值后,进行运算的“程序”,如f（x）=5x+1中的f可以视为
5*（ ）+1,这样当自变量x=m时,f（m）=5*（m）+1=5m+1,
而f（2x+2）=5x+1,可理解为自变量取2x+2时,按照f所反映的内在“程序”,进行运算后,其结果为5x+1,因此关键在于找出f所反映的运算“程序”.

f(x)=x^3,
所以求导得到
f '(x)= 3x^2
于是
f '(x^2)=3x^4
注意
f '(x^2)和 [f(x^2)]'是不一样的

令a+b=0,f(0)=f(a)+f(-a)-1--> f(a)+f(-a)=f(0)+1
令a=b=0,f(0)=2f(0)-1--> f(0)=1--> f(a)+f(-a)=2--> f(-a)=2-f(a)
令a>b,f(a-b)=f(a)+f(-b)-1=f(a)+2-f(b)-1=f(a)-f(b)+1
因为有：f(a-b)>1,因此有 f(a)-f(b)=f(a-b)-1>0
所以为增函数

∵f(x+y)=f(x)+2y(x+y),且f(1)=1
令x=0,则有f(y)=f(0)+2y^2①
令x=0,y=1,则有f(1)=f(0)+2=1,∴f(0)=-1②
①-②,得f(y)=2y^2-1
令y=x,则f(x)=2x^2-1
能解决你的问题就好,我旨在做题复习下,因为：……

设y=f(x),则x=g(y)
现在y=f(ax+b),因此ax+b=g(y),x=[g(y)-b]/a
也就是说f(ax+b)的反函数就是y=[g(x)-b]/a

1.函数为奇函数,有条件可知f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0,
所以,f(-x+x)=f(-x)+f(x)=0,
f(-x)=-f(x).
2.任意取x0)
又对任意的x>0,都有f(x)

在f(xy)=f(x)f(y)中,用√x替换x,y,
得f(x)=f(√x)·f(√x)=[f(√x)]²,又f(x)≠0,
从而 f(x)>0
设01,即
f(x2)/f(x1)>1
而 f(x1)>0,于是f(x2)>f(x1)
从而 f(x)在(0,+∞)上是增函数.

特殊值法
　　特殊值法是处理抽象函数选择题的有力方法。根据抽象函数具有的性质，选择一个熟悉的函数作为特殊值代入验证，可以解决大部分选择题。
　　例1 定义在R上的函数f(x)满足f (x + y) = f (x) + f (y)(x，y∈R)，当x0，则函数f (x)在[a,b]上 ( )
　　A　有最小值f (a)　B　有最大值f (a)　C　有最小值f (b)　D　...

我的理解是，函数的偏导数与求导次序无关，而只取决于求导方向，至于为什么，我也解释不清楚。在后面，楼主还会学到多重积分，里面有个重要的技巧就是转换积分次序，应该也是函数的偏导数与求导次序无关的一个佐证。

你慢慢看把.要是觉得有帮助,记得把我选为
上面两个都是

是为了前后找到相等的量
f（x+a）=-1/f（x）
令x=x+a 原式为
f（x+2a）=-1/f（x+a） 这里就跟上面的f（x+a）一样了
f（x+2a）=-1/（-1/f（x）） =f（x）
所以周期为2a

严格根据定义求
单调性用定义证明,
即定义域内取X1

一般情况下是假设x1

其实就是分数的性质 分子分母同乘一个不为零的数 分数的值不变

f(x)＝-f(x+3/2),则f(x)关于(3/4,0)对称,又f(x)关于(-3/4,0)对称
则T=2【3／4-（－3／4】=3,且f(x)关于y轴对称,
所求式子=670×【f(1)+f(2)+f(3)】+f(1)
f(2)=f(-1)=f(1)=1,f(3)=f(0)=-2
则结果为1

一、f（xy）=f（x）+f（y）
1、定义域与值域
定义域：x∈R,y∈R 值域：f（xy）∈R
2、对称性
f（xy）关于关于y轴对称
3、周期性
f（xy）无周期
4、奇偶性
f（1）=f（1）+ f（-1）+f（-1）=0,f（1）=f（-1）=0
f（x）-f（-x）=f（x）-f（-1）-f（x）=0,f（x）= f（-x）
f（x）是偶函数
5、最值
当f（x）≥0时,有fmin（x）=f（1）=f（-1）=0
当f（x）≤0时,有fmax（x）=f（1）=f（-1）=0
6、反函数
f(x)无反函数
二、f（x）=∣x+a∣
1、定义域与值域
定义域：x∈R,值域：f（x）≥0
2、对称性
以x=-a对称
3、周期性
f（x）无周期
4、奇偶性
f(x)+f(-x)= ∣x+a∣+∣-x+a∣≠0
f(x)-f(-x)= ∣x+a∣-∣-x+a∣≠0
f（x）非奇非偶
5、单调性
x10,f(x)单调递增
当x1∣-b+a∣时,fmin（x）= ∣-b+a∣
当∣-b+a∣>∣-a+b∣时,fmin（x）= ∣-a+b∣
6、反函数
f(x)无反函数
四、f(xy)=f(x)*f(y)
1、定义域与值域
定义域：x∈R,y∈R值域：f（xy）∈R
2、对称性
f（xy）不对称
3、周期性
f(x)无周期
4、奇偶性
f(x)=f(x)*f(1),f(1)=1
f(x)=f(x)*f(0),f(0)=0
f(1)=f(-1)*f(-1)=1,f(-1)=-1
f(x)+f(-x)= f(x)*f(1)+f(x)* f(-1)
= f(x)- f(x)=0
f（x）是奇函数
5、最值
f(x)无最值
五、f（x+y）=f（x）+f（y）
1、定义域与值域
定义域：x∈R,y∈R 值域：f（xy）∈R
2、对称性
f（x）关于原点对称
3、周期性
f（x）无周期
4、奇偶性
f（0）=f（0）+ f（0）,f（0）=0
f（0）= f（1）+ f（-1）=0,f（1）=- f（-1）
f（x）+f（-x）=x*f（1）+x*f（-1）
= x*f（1）- x*f（1）=0
-f（x）= f（-x）,f（x）是奇函数
6、最值
f(x)无最值
六、f（x+y）=f（x）*f（y）
1、定义域与值域
定义域：x∈R,y∈R 值域：f（xy）∈R
2、对称性
f（x）不对称
3、周期性
f(x)无周期
4、奇偶性
f（0）=f（0）* f（0）= f（1） *f（-1）=1
f（1）=
f（x）+f（-x）=f（1）* f（x）+f（-1）* f（x）≠0
f（x）-f（-x）=f（1）* f（x）-f（-1）* f（x）≠0
f（x）非奇非偶
5、最值
f(x)无最值
七、f（x-y）=f（x）-f（y）
1、定义域与值域
定义域：x∈R,y∈R 值域：f（xy）∈R
2、对称性
f（x）关于原点对称
3、周期性
f(x)无周期
4、奇偶性
f（x）+f（-x）=f（x）-f（0）+ f（0）- f（x）=0
-f（x）= f（-x）,f（x）是奇函数
5、单调性
6、最值
八、f（ ）=f（x）-f（y）
1、定义域与值域
定义域：x∈R,y∈R 值域：f（xy）∈R
2、对称性
f（x）关于原点对称
3、周期性
f(x)无周期
4、奇偶性
f（1）= f（1）- f（1）=-f（-1）=0
f（-1）= f（1）-f（-1）=-f（-1）,f（-1）=0
f（x）-f（-x）=f（x）-f（1）-f（x）+f（-1）=0
-f（x）= f（-x）,f（x）是奇函数
5、最值
f(x)无最值
九、f（x）=x+ （a∈R+）
1、定义域与值域
定义域：x≠0 值域：f（x）∈ U
2、对称性
f（x）关于原点对称
3、周期性
f（x）无周期
4、奇偶性
f（x）+ f（-x）= x+ -x+ =0
-f（x）= f（-x）,f（x）是奇函数
5、单调性
x10,f（x）单调递增
当x∈ 时,f（x2）-f（x1）>0,f（x）单调递增
当x∈ 时,f（x2）-f（x1）>0,f（x）单调递减
当x∈ 时,f（x2）-f（x1）>0,f（x）单调递减
6、最值
f(x)无最值
7、反函数
y= f(x)= x+
x2-yx+a=0
x=
f-1（x）= ,x∈
f-1（x）= ,x∈

我已看过.正要提交发现你已经采纳,所以重新说一遍吧.
猜答案的规则很简单.看到f(x+m) = f(-x-n),就是有对称轴x = (m-n)/2,看到 f(x+m) = -f(-x-n),就有对称中心 ((m-n)/2,0).道理是什么?你让m=n=0,一目了然：前者是偶函数,无非是左右平移下,所以对称轴当然也就是y轴平移的结果；后者是奇函数,也是左右平移下,所以对称中心也就是原点左右平移的结果.为何有一半在那儿?原图像平移一个单位,显然对称的东西就要平移一半.这些都是很符合直觉的.实在无法想象,画图是最好的帮助.你让m,n取一些整数验证下我说的就知道了.

3f(x)+2f(-x)=x+3
的意思是x取任何值这个式子都成立
我可以取100,1000001都行,包括-x
正确写法不是写令x=-x
该写用-x替换x,因为上面的式子是个方程,唯一解是x=0
就是用-x替换x这个式子也成立
你说的如果f(x)是一个对称轴是Y的二次函数
没有任何迹象表明f是对称轴是Y的二次函数,你求出来了才能知道的
例如你假设是,那么显然f(x)=f(-x)
代回
5f(x)=x+3
f(x)=(x+3)/5 显然不是2次函数啊,更不提对称轴了
你想多了,这种题就是拿-x替换x然后列方程
关键点是x可以任意取,方程都满足

f(x)+f(2-x)

1,
令m=n=0,f(0)=1
f(m+n)=f(m)+f(n)-1,
f(m)=f(m-n+n)=f(m-n)+f(n)-1
所以f(m-n)-1=f(m)-f(n)
令n=-m,f(m+n)=f(0)=1=f(m)+f(-m),
所以f(m)=1-f(-m)
任取x1,x2,且x1>x2>0
f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)-1,又当x>0时,恒有f(x)>1,所以f(x1)>f(x2)
所以函数在(0,+无穷)上是增函数
任取x3,x4,且x3

我们令x+2=t
则f(t)是定义域R上奇函数
所以f(-t)=-f(t)
即f(-x-2)=-f(x+2)
你理解错了,应该把x+2看做一个整体
如果不好理解,你就用换元

定义域就是自变量的取值范围,说定义域就是说f（）括号中变量的取值范围.
比如f（2x-1）的定义域为（-2,2）,其实说的就是x的范围,接着问那么f（t）的定义域是多少呢?这里是要让你求t的取值范围.参照给出的已知条件,x∈（-2,2）,那么2x-1∈（-5,3）,你把2x-1看做整体,即可设t=2x-1,所以f（t）的定义域就是（-5,3）.
自变量的名称可以任意,可以是t,m,n,甚至是x,这都无所谓.比如上述问题不用t,而改用x,即f（2x-1）的定义域为（-2,2）,那么f（x）的定义域是多少呢,答案还是（-5,3）.你再好好理解一下吧.

定义域是指函数自变量的取值范围,值域是指函数值的取值范围.
f是指法则,两个函数在相同法则f的作用下,也就可以理解为f(x)=f(x+2),自变量是x,那么f(x)的定义域就可以理解为x的取值范围,即【1,4】,就是1到4（包括1和4,这个中括号你应该明白是什么意思吧）之间的实数（高一的题没有说明特殊情况时都是在实数范围内的）.因此,f(x)的值域就是【1,4】,前面说到了相同法则,就是f(x)=f(x+2),那么f(x+2)的值域也是【1,4】,所以 1≤x+2≤4
以此类推,很容易就想明白了.

f(3+4)=f(3)
f(x+4)=f(x)
这两个式子中 x就是3
所以f(3+4)=f(3)而不是f（7）

先对x求偏导得到
1/x^2 *f(xy) +1/x *f '(xy) *y +y* φ'(x+y)
再把这个式子对y求偏导得到
1/x *f '(xy) +1/x *f '(xy) + y *f "(xy) +φ'(x+y) +y *φ "(x+y)
=2/x *f '(xy) + y *f "(xy) +φ'(x+y) +y *φ "(x+y)
这样就得到了答案

(1)令x=0
那式变为f(0)=-f(0)
2f(0)=0
f(0)=0
(2)
令x=2
那么f(4)=-f(2)=-1
令x=4
f(6)=-f(4)=1
令x=0
那么f(2)=-f(0)=1
f(0)=-1
令x=-2
f(0)=-f(-2)=-1
f(-2)=1
令x=-4
f(-2)=-f(-4)=1
f(-4)=-1

在Mathematica中,
如果要直接给出n阶导数的表达式,很难.
用自定义函数还是可以实现的.
DD[k_] := {
g=InverseFunction[f][x];
Do[g=D[g,x],{i,k}];
g
};
DD[3]
其中：
g=InverseFunction[f][x]; (** 符号反函数 **)

由题可知,该函数以x=5为对称轴,又因为有三个不同实数根,3为奇数,所以x=5处函数值必为0,否则以对称性来看,解集为偶数.即x=5为其中一个解,另外两个的解的和应该是10（对称轴是5）,所以总共15.