A为非奇异矩阵,且有分解式A=LU,L为单位下三角矩阵,U为上三角矩阵,求证 A的所有顺序主子式均不为零.

等价的定义：A~B,A可以经若干次初等变换得到B

n阶奇异矩阵,就是行列式等于零的矩阵,而非奇异就是行列不为零（等价于可逆)

A为可逆矩阵的一个充要条件是A与E等价.

等价是等价关系,有自反性,对称性,和传递性

故两个n阶非奇异矩阵一定等价,因为他们都等价于E.

另外,于一个n阶非奇异矩阵一定等价的矩阵一定是一个可逆矩阵.

故,奇异矩阵B不可能行等价于非奇异矩阵A,因为B不能等价于E,而A可以等价于E.

稍等,上图...

唯一性显然是不可能的
首先即便是非奇异矩阵也不能保证LU分解的存在性,比如
0 1
1 0
当然,你可以把存在性作为条件,试图证明如果存在则唯一.
不过即便存在LU分解,也可以有很大的调整余地,因为LU=(LD)(D^{-1}U).
在一定约束条件下,证明唯一性的办法一般是求逆并归类,比如L1^{-1}L2=U1U2^{-1},左边是下三角阵,右边是上三角阵,要相等只能都是对角阵,再结合其他条件去证明唯一性.