x^3+px+q=0 x1,x2,x3是方程的3个解.

集合B中的方程x²-3x+2=0，
解得：x=1或x=2，即B={1，2}，
∵A∪B=B，∴A⊆B，
当A=∅时，A中方程无解，即p²-4q＜0；
当A≠∅时，1∈A或2∈A或1，2∈A，
将x=1代入集合A中的方程得：1+p+q=0，即p+q=-1；
将x=2代入集合A中的方程得：4+2p+q=0，即2p+q=-4，
联立解得：p=-3，q=2，
综上，p，q满足的关系是p²-4q＜0或p+q=-1或2p+q=-4或p=-3，q=2．

点评：
本题考点： 并集及其运算．

考点点评： 此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．

由题意，

△＝p2−4q≥0
2tanα＝−p
cot2α＝q
∴p²q=4，p²-4q≥0
故答案为：p²q=4，p²-4q≥0．

点评：
本题考点： 等差数列与等比数列的综合．

考点点评： 本题的考点是等差数列与等比数列的综合，主要考查等差中项和等比中项，关键是利用韦达定理表示等式．

设两根为x₁，x₂．则
x₁+x₂=-p ①
x₁x₂=q ②
由题设及①，②可知，x₁，x₂均为负整数．q为质数，若q为奇数，则x₁，x₂均为奇数．从而p为偶数，而偶质数只有2，两个负整数之和为-2，且不相等，这是不可能的．
若q为偶数（只能是2），两个负整数之积为2，且不相等，只能是-1和-2．
∴方程的根是-1和-2．
故答案为：-1和-2．

点评：
本题考点： 一元二次方程的整数根与有理根；根的判别式；根与系数的关系．

考点点评： 本题考查一元二次方程根与系数的关系．解决本题的关键是同学们在理解质数的基础上对q的取值分偶数、奇数讨论．

集合B中的方程x²-3x+2=0，
解得：x=1或x=2，即B={1，2}，
∵A∪B=B，∴A⊆B，
当A=∅时，A中方程无解，即p²-4q＜0；
当A≠∅时，1∈A或2∈A或1，2∈A，
将x=1代入集合A中的方程得：1+p+q=0，即p+q=-1；
将x=2代入集合A中的方程得：4+2p+q=0，即2p+q=-4，
联立解得：p=-3，q=2，
综上，p，q满足的关系是p²-4q＜0或p+q=-1或2p+q=-4或p=-3，q=2．

点评：
本题考点： 并集及其运算．

考点点评： 此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．

设两根为x₁，x₂．则
x₁+x₂=-p ①
x₁x₂=q ②
由题设及①，②可知，x₁，x₂均为负整数．q为质数，若q为奇数，则x₁，x₂均为奇数．从而p为偶数，而偶质数只有2，两个负整数之和为-2，且不相等，这是不可能的．
若q为偶数（只能是2），两个负整数之积为2，且不相等，只能是-1和-2．
∴方程的根是-1和-2．
故答案为：-1和-2．

点评：
本题考点： 一元二次方程的整数根与有理根；根的判别式；根与系数的关系．

考点点评： 本题考查一元二次方程根与系数的关系．解决本题的关键是同学们在理解质数的基础上对q的取值分偶数、奇数讨论．

∵x²-x-1=0，
∴x²=x+1，
∴x⁴-3x-1=（x+1）²-3x-1
=x²+2x+1-3x-1
=x²-x
=x+1-x
=1，
故答案为1．

点评：
本题考点： 一元二次方程的解．

考点点评： 本题考查了一元二次方程的解，将四次先降为二次，再将二次降为一次．

设x₀∈A，则x₀≠0，否则将有q=0与题设矛盾．
于是由x₀²+px₀+q=0，两边同除以x₀²，得q(
1
x0)2+
p
x0+1＝0，
知[1
x0∈B，故集合A、B中的元素互为倒数．
由①知存在x₀∈A，使得
1
x0∈B，且x₀=
1
x0，
得x₀=1或x₀=-1．
由②知A={1，-2}或A={-1，-2}．
若A={1，-2}，
则B={1，-
1/2]}，有

p＝−(1−2)＝1
q＝1×(−2)＝−2
同理，若A={-1，-2}，
则B={-1，-[1/2]}，得p=3，q=2．
综上，p=1，q=-2或p=3，q=2．

点评：
本题考点： 集合关系中的参数取值问题．

考点点评： 本题考查了二次函数的性质及方程的根与系数的关系，考查了分类讨论的思想，考查的知识点比较全面，是一道中档题．

证明：（1）∵a=1，b=p，c=q
∴△=p²-4q
∴x=
-p±
p2-4q
2即x₁=
-p+
p2-4q
2，x₂=
-p-
p2-4q
2
∴x₁+x₂=
-p+
p2-4q
2+
-p-
p2-4q
2=-p，
x₁•x₂=
-p+
p2-4q
2•
-p-
p2-4q
2=q；
（2）把（-1，-1）代入y=x²+px+q得1-p+q=-1，
所以，q=p-2，
设抛物线y=x²+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x₁，0）、（x₂，0）
∵d=|x₁-x₂|，
∴d²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=p²-4q=p²-4p+8=（p-2）²+4
当p=2时，d²的最小值是4．

点评：
本题考点： 抛物线与x轴的交点；根与系数的关系．

考点点评： 本题考查的是抛物线与x轴的交点及根与系数的关系，熟知x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q是解答此题的关键．

证明：（1）∵a=1，b=p，c=q
∴△=p²-4q
∴x=
-p±
p2-4q
2即x₁=
-p+
p2-4q
2，x₂=
-p-
p2-4q
2
∴x₁+x₂=
-p+
p2-4q
2+
-p-
p2-4q
2=-p，
x₁•x₂=
-p+
p2-4q
2•
-p-
p2-4q
2=q；
（2）把（-1，-1）代入y=x²+px+q得1-p+q=-1，
所以，q=p-2，
设抛物线y=x²+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x₁，0）、（x₂，0）
∵d=|x₁-x₂|，
∴d²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=p²-4q=p²-4p+8=（p-2）²+4
当p=2时，d²的最小值是4．

点评：
本题考点： 抛物线与x轴的交点；根与系数的关系．

考点点评： 本题考查的是抛物线与x轴的交点及根与系数的关系，熟知x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q是解答此题的关键．

∵A={2，5}，A∪B=A，A∩B={5}，
∴B⊆A，B={5}，
即方程x²+px+q=0有两个相等的根5，
则

△＝p2−4q＝0
−
p
2＝5，
解得

p＝−10
q＝25．

点评：
本题考点： 交集及其运算；并集及其运算．

考点点评： 根据集合的基本关系，转化为一元二次方程根的关系．

设A（x1，y1），B（x2，y2），且方程有两个不同的解得到：△=p2-4q＞0，把A的坐标代入抛物线解析式和已知的方程得：x12=3y1①，x12+px1+q=0②，①-②整理得：px1+3y1+q=0③；同理把B的坐标代入抛物线解析式和已知的...

点评：
本题考点： 抛物线的标准方程．

考点点评： 此题考查学生会求动点的轨迹方程，掌握一元二次方程有两个不相等的实数根的条件为△＞0，是一道综合题．学生做题容易忽视△＞0这个条件．

∵a=1，b=p，c=q，
而方程有两个相等的实数根，
∴△=b²-4ac
=p²-4q=0．
故填空答案：p²-4q=0．

点评：
本题考点： 根的判别式．

考点点评： 总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．