高斯公式的计算在用高斯定理求曲面积分的时候,有时候要用到辅助曲面,使积分区域变成封闭曲面.这时候在高斯公式里计算时是要减

利用高斯公式计算 2xdydz+ydzdx-2012x^3dxdy,其中Σ为Ω：x^2+y^2+z^2≤1,z≥0的整个

利用高斯公式计算 2xdydz+ydzdx-2012x^3dxdy,其中Σ为Ω：x^2+y^2+z^2≤1,z≥0的整个边界曲面,且取外
且取外侧

空心的汤圆1年前2

李大为 共回答了15个问题 | 采纳率100%

Σ：x² + y² + z² = 1
∫∫Σ 2xdydz + ydzdx - 2012x³dxdy
= ∫∫∫Ω (2 + 1 - 0) dV
= 3∫∫∫Ω dV
= (3)(4/3)(π)(1)³
= 4π

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高斯公式 ∫∫(∑)x^3dydz+y^3dzdx+z^2dxdy,其中∑为球面x^2+y^2+z^2=a^2外侧

高斯公式 ∫∫(∑)x^3dydz+y^3dzdx+z^2dxdy,其中∑为球面x^2+y^2+z^2=a^2外侧
最后有一步是3∫(0->2π) dθ ∫(0->π)dΦ ∫(0->a) r^2 * r^2sinΦ dr ,我知道 r^2sinΦ是圆的体积公式,那么前面的r^2是怎么来的?

wqycom1年前1

有花的地方 共回答了17个问题 | 采纳率88.2%

用完Gauss公式后被积函数是3(x^2+y^2+z^2),3提到积分号外面,剩下的做球座标后是r^2.

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一道利用高斯公式求解第二类曲面积分的题目

一道利用高斯公式求解第二类曲面积分的题目
被积项是（2xdydz+yzdzdx-z^2dxdy）,S是由锥面z=(x^2+y^2)的二分之一次方 与半球面z=(2-x^2-y^2)的二分之一次方 所围成的区域边界曲面的外侧.

欧阳晨风1年前1

可能有问题7 共回答了22个问题 | 采纳率100%

令P=2x,Q=yz,R=-z²
∵αP/αx=2,αQ/αy=z,αR/αz=-2z
∴根据高斯公式得
原式=∫∫∫(αP/αx+αQ/αy+αR/αz)dxdydz (V是S围城的空间区域)
=∫∫∫(2-z)dxdydz
=∫dθ∫rdr∫(2-z)dz (应用柱面坐标变换)
=2π∫[2r√(2-r²)-r-2r²+r³]dr
=2π[(-2/3)(2-r²)^(3/2)-r²/2-(2/3)r³+r^4/4]│
=2π(-1/2-2/3+1/4+2/3)
=-π/2.

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可能用到高斯公式高数下册上的问题，就是这个曲面是怎样的曲面？

liangtao05171年前1

Zelos1983 共回答了15个问题 | 采纳率80%

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利用高斯公式计算曲面积分,∫∫(x^3-yz)dydz-2x^2ydzdx+zdxdy,其中E为x^2+y^2=R^2

利用高斯公式计算曲面积分,∫∫(x^3-yz)dydz-2x^2ydzdx+zdxdy,其中E为x^2+y^2=R^2
在z=0和z=1之间部分圆柱面的外侧.答案为πR^4/4

abcdef0000001年前1

3WANGJIN 共回答了20个问题 | 采纳率90%

两问都用高斯公式,令P=x^3-x0dyz,Q=-2yx^2,R=2z,则P'x=3x^x0d2,Q'y=-2x^2,R’z=2,根据高x0d斯公式∫∫∫(Pdydz Qdzdx Rdxdy)=∫x0d∫∫(P‘x Q'y R'z)dxdydz,所求积x0d分=∫∫∫(x^2 2)dxdydz,第一问,x0d很明显x,y,z的积分限都是0到ax0d,因此积分=∫dz∫dy∫(x^2 2)dx=(x0da^5)/3 2a^3.第二问,由于x^2x0d y^2=R^2对x和y有轮换对称性x0d,故∫∫∫x^2dxdydz=∫∫∫y^2dxdydzx0d,所以由柱面和两个底面构成x0d的闭曲面上的积分=∫∫∫[(x^2 y^2x0d 4)/2]dxdydz,用柱坐标计算,x0d=∫dz∫dθ∫[(r^3 4r)/2]dr（r积分限x0d0到R,θ积分限0到2π,z积分x0d限0到1）=π(R^4/4 2R^2).而两x0d个底面上的积分分别等于0和∫∫x0d2dxdy=2πR^2,所以原积分=π(Rx0d^4/4 2R^2)-2πR^2=(πR^4)/4.

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用高斯公式计算曲面积分啊……高手进来

webplustom1年前1

game34138 共回答了12个问题 | 采纳率75%

简单的很,但是要添加辅助面,就是z=0,取其下侧啊,构成了封闭区间,可以用高斯公式了,求出的三重积分为∫∫∫（z）dxdydz,再用先二后一法,现对dxdy积分,（∫∫dxdy）∫zdz就可以了,化成了∫π（R^2 - z^2）x zdz了吧?这个就是定积分了,你自己所吧,另外要验证z = 0这个曲面积分,带入后得0……

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薄透镜成像的高斯公式中u v f在具体应用时其正负号如何规定

王子暂时离开1年前1

ck521ch 共回答了21个问题 | 采纳率90.5%

一般说,凸透镜的焦距f为正,凹透镜的焦距f为负.物距u你不妨都可以取正,这样利用透镜的三距公式计算,得到的v是正,即实象；v为负,即虚象.

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曲面积分的问题当被积曲面不是封闭的时,要加上一个面然后用高斯公式,再减去补的那个面的曲面积分,有的时候补的那个面是圆,二

曲面积分的问题
当被积曲面不是封闭的时,要加上一个面然后用高斯公式,再减去补的那个面的曲面积分,有的时候补的那个面是圆,二重积分等于零,有的时候为什么不等于零?感觉也是关于Z轴对称呀

王朔的粉丝1年前1

大猫小猫晒太阳 共回答了17个问题 | 采纳率100%

看你的被积函数是关于哪个平面的变量.
dydz和dxdz才有关于z轴对称的结论.而且与某一个变量的奇偶性有关.
你去看看高数的书吧...

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高斯公式不知道这个怎么算求指点

阿-呜1年前1

bise2008 共回答了24个问题 | 采纳率87.5%

z轴上任取一点z,作垂直于z轴也就是平行于xOy面的平面截这个四面体Ω,得到一个直角三角形区域,两直角边都是1-z,面积是1/2(1-z)^2,最好就是对x,y积分的结果

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∫∫(x^2+y^2)dzdx+(z-1)dxdy利用高斯公式怎么积分呀?

∫∫(x^2+y^2)dzdx+(z-1)dxdy利用高斯公式怎么积分呀?
轨迹：圆锥面是x^2+y^2=z^2(0

meidengke1年前1

番茄炒蛋007 共回答了19个问题 | 采纳率94.7%

积分曲面不封闭,补平面Σ1：z=1,x²+y²≤1上侧
两个曲面合起来为封闭曲面,用高斯公式
∫∫ (x²+y²)dzdx+(z-1)dxdy
= ∫∫∫ (2y+1)dxdydz 积分区域为那个圆锥体
由于该圆锥体关于xOz面对称,被积函数中的2y是奇函数,因此积分结果为0,得：
=∫∫∫ 1 dxdydz
被积函数为1,积分结果是区域的体积,该圆锥体积为：(1/3)π
=(1/3)π
下面从中减去所补平面的积分
∫∫(Σ1) (x²+y²)dzdx+(z-1)dxdy
=∫∫ -1 dxdy 积分区域为：x²+y²≤1
=-π
因此本题最终结果是：(1/3)π-(-π)=(4/3)π
若有不懂请追问,如果解决问题请点下面的“选为满意答案”.

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用高斯公式计算曲面积分∮xy^2dydz+yz^2dzdx+zx^2dxdy,其中∑为球面x^2+y^2+z^2=R^2

用高斯公式计算
曲面积分∮xy^2dydz+yz^2dzdx+zx^2dxdy,其中∑为球面x^2+y^2+z^2=R^2的外侧.∮这符号下面还有个小写的∑

tzpy6051年前1

jimmygo 共回答了19个问题 | 采纳率89.5%

令P=xy²,Q=yz²,R=zx²
∵αP/αx=y²,αQ/αy=z²,αR/αz=x²
∴由高斯公式,得原式=∫∫∫(αP/αx+αQ/αy+αR/αz)dxdydz
=∫∫∫(x²+y²+z²)dxdydz
=∫dθ∫dφ∫r²*r²sinφdr
=(2π-0)(1-0)(R^5/5-0)
=2πR^5/5

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考研数学一19题，该题的第二问能否使用高斯公式的逆用求解，为什么答案不对

d8454234a00d46bf1年前1

zangma_kod 共回答了16个问题 | 采纳率62.5%

和高数课本商格林公式里面那道例题实质是一样的只不过课本上的是格林公式的应用，其条件是偏导连续，由于没有连续所以做了一个小圆，这个经典的例题在各大数学复习参考书上都有而09年真题，利用的是高斯定理，它的条件依然还是偏导连续，那么很显然给的积分函数在原点是不连续的，所以加了一个小圆。实际上实质是一样的，仔细揣摩，注意所去小球面的方向就行了...

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利用高斯公式计算∮∮（2xzdydz+yzdzdx-z^2dxdy,其中∑是由z=根号下（x^2+y^2)与z=根号下（

利用高斯公式计算
∮∮（2xzdydz+yzdzdx-z^2dxdy,其中∑是由z=根号下（x^2+y^2)与z=根号下（2-x^2-y^2)围成的立体表面的外侧.

大众的想法1年前1

洋洋得意黄 共回答了22个问题 | 采纳率95.5%

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利用高斯公式计算曲面积分我知道是要补平面.但是那个积分区域是什么意思,下半球面的上侧,（圆是实心圆）是指z=0的那个平面

利用高斯公式计算曲面积分



我知道是要补平面.
但是那个积分区域是什么意思,下半球面的上侧,（圆是实心圆）是指z=0的那个平面的外侧；（圆是空心圆）还是指球面的内侧?
顺便说下具体方法,

xuvance1年前1

板板751 共回答了18个问题 | 采纳率94.4%

那个积分区域是指整个球面的下半部分：z ≤ 0.(注意不是球体),所以是空心圆.
由方程z = - √(1 - x² - y²)可以看出,而上半部分就是z = √(1 - x² - y²),z ≥ 0
而下半球面的上侧,可以想象你站在一个碗上面,就是上侧的方向了.
当替这个下半球面补上z ≤ 0这个面,相当于补上方向朝下的天花板.这个空间的方向都指向内测.
外侧的话,考虑一块圆球磁铁,若磁铁是N极的话,所有磁线的方向由磁铁中心指向外面
所以下半圆球的外侧,即下侧方向,就是指上侧反转180°的另一个面,就像灯光从圆球里面射出来就是例子了.上侧的话,补的面不是天花板,而是地板了,补z ≥ 0这个面,方向朝上,所以整个封闭空间都指向外侧.就符合运用高斯公式的条件.

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高斯公式是什么,有什么意义

kongzhongdeyu1年前1

wshumingrc 共回答了17个问题 | 采纳率100%

高斯定理在物理学研究方面,应用非常广泛.
　　如：电场E为电荷q（原点处）在真空中产生的静电场,求原点外M（x,y,z)处的散度divE(M).
div(qR/(4πr^3)=0 R/r--为r的单位矢量,
　　本例说明静电场E是无源场.
　　应用高斯定理(或散度定理）求静电场或非静电场非常方便.特别是求静电场中的场强,在普通物理学中常用,这里就再举二例.
　　现在用高斯公式推导普通物理中的高斯定理,
　　设S内有一点电荷Q其电场过面积元dS的通量为
　　E·dS=Ecosθds
　　=Q/(4πε0r^2)* cosθds θ为(ds^r) ε0----真空中的 介电常数
　　显然cosθds为面元投影到以r为半径的球面的面积,在球体内,面元dS对电荷Q所张的立体角为dΩ= cosθds/r^2
　　故 E·ds= Q/(4πε0)dΩ
　　因此,E对闭合曲面S的通量为∮E·dS=Q/(4πε0) ∮dΩ=Q/ε0
　　场强学过普通物理的多数人都知道
　　下面用高斯公式来推导电荷守恒定律,设空间区域V,边界为封闭面S,通过界面流出的电流应等于体积
V内电量的减小率,
　　即∮J·dS=-∫(dρ/dt)dV J,S ---矢量,dρ/dt--------- 这里为ρ对的偏导数(由于符号在这里用d来代替偏导的符号）
　　ρ-电荷密度
　　注：J=Ρv’ V’---为速度矢量
　　用高斯公式进行积分变换,
　　∮J·dS=∫∫∫▽·JdV
　　可得到电荷守恒定律的微分形式：▽·J+ dρ/dt=0,
　　此式称电流的连续性方程.
这些资料希望对你有用!请及时采纳!

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高斯公式求曲面积分为什么答案中那个三重积分要减去一个二重积分?

fzy1231年前1

深山野菊花 共回答了17个问题 | 采纳率88.2%

那个二重积分,就是I在∑2上的积分.因为∑2上满足,z=1,所以dz=0
把z=1和dz=0带入
所以I在∑2上的积分为,
∫∫∑2=∫∫dxdy=π
这就是那个二重积分,其实是曲面积分中dydz一项为0得到的.

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高斯公式的一个疑问穿过闭曲面的通量,意味着一部分曲面是矢量穿入,另一部分曲面是矢量穿出那么为什么用高斯公式的时候,积分的

高斯公式的一个疑问
穿过闭曲面的通量,意味着一部分曲面是矢量穿入,另一部分曲面是矢量穿出
那么为什么用高斯公式的时候,积分的正向是沿着曲面向外的?穿入的部分不是向内的吗?不理解这种正向的含义.
还望大虾给个解释,

被骗的不二对象1年前1

lhymy 共回答了24个问题 | 采纳率91.7%

这样定义（向外为正、向内为负）还是比较自然的,比如流体力学里面计算控制体内物理量的变化,直接就是散度变化率+控制体内物理量的变化率=0,不用考虑正负号.弹性力学里也有类似情况.这个问题还是要学物理的人来回答,物理里面用的比较多.
我是学力学的,就知道这一点.

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利用高斯公式的方法计算积分∫∫ x2y2dxdy,其中∑是球面x2+y2+z2=r2下部分下侧

yu22425051年前1

我不叫花心 共回答了15个问题 | 采纳率86.7%

补平面Σ1：z=0,x²+y²≤r²,上侧,这样Σ+Σ1为一个封闭曲面
由高斯公式：
∫∫(Σ+Σ1) x²y² dxdy
=∫∫∫ 0 dxdydz
=0
下面计算所补平面的积分
∫∫(Σ1) x²y² dxdy
=∫∫(D) x²y² dxdy 其中积分区域D为x²+y²≤r²,下面用极坐标
=∫∫ ρ^5cos²θsin²θ dρdθ
=∫[0→2π] cos²θsin²θdθ ∫[0→r] ρ^5dρ
=(1/4)∫[0→2π] sin²2θ dθ×(1/6)ρ^6 |[0→r]
=(1/24)r^6∫[0→2π] sin²2θ dθ
=(1/48)r^6∫[0→2π] (1-cos4θ) dθ
=(1/48)r^6[θ - (1/4)sin4θ] |[0→2π]
=(1/24)πr^6
最后两个积分相减得：
原式=0-(1/24)πr^6=-(1/24)πr^6
若有不懂请追问,如果解决问题请点下面的“选为满意答案”.

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高斯公式和斯托克斯公式有什么差别

mcwen1年前1

nbx1984 共回答了25个问题 | 采纳率100%

二重积分的积分范围为面,属二维,所以可以用边界线上的曲线积分来表示,坐标面内的曲线,属一维然后你再想想高斯公式,斯托克斯公式,也一样.积分

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用高斯公式,求有计算过程,∫∫∑(x^2-yz)dydz+(y^2-xz)dzdx+2zdxdy,其中∑为z=1-√(x

用高斯公式,求有计算过程,
∫∫∑(x^2-yz)dydz+(y^2-xz)dzdx+2zdxdy,其中∑为z=1-√(x^2+y^2)被z=0所截部分,取上侧,答案为2pi/3,我算的2pi

Eason_skyfire1年前0

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第一题运用高斯公式，然后要补面，我补了z等于0这个面，那当要减去这个面的积分的时候，这个面的怎么积分？高数微积分

师把拉古1年前1

euis25 共回答了23个问题 | 采纳率78.3%

补的这个面dz=0 z=0于是积分变成对x、y的积分 积分域为半径为1的圆，积分函数为1 结果为pi

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高斯公式中,∮和(双重积分符号中间加个圆)分别是什么意思?为什么在不同的题中用不同的符号呢?

高斯公式中,∮和(双重积分符号中间加个圆)分别是什么意思?为什么在不同的题中用不同的符号呢?
∮EdS=q/ε
符号不同.

靠12411年前4

家有逸宝 共回答了19个问题 | 采纳率89.5%

加个圆表示积分区域是封闭的,并不是高斯公式中才有加圆这一说.
就高斯定理而言：
高斯定理：穿过一封闭曲面的电通量与封闭曲面所包围的电荷量成正比
这个二重积分加个圆,就是表示积分区域是个“封闭曲面”.

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高数问题（球面内侧,外侧）球面的内侧和外侧具体是指哪里啊?还有曲面积分用了高斯公式后什么时候加符号?具体点!你的问答能帮

高数问题（球面内侧,外侧）
球面的内侧和外侧具体是指哪里啊?还有曲面积分用了高斯公式后什么时候加符号?具体点!你的问答能帮助迷茫中的我!
PS，上面打错了，是负号。

大沙子1年前2

AVgg 共回答了15个问题 | 采纳率93.3%

对于球面,你感觉的,就是正确的.对于高斯,这个体的外面自然是外侧,也就是方向向量向外,

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利用高斯公式计算曲面积分I=∫∫(∑)xdydz+ydzdx+zdxdy,为曲面z=x2+y2,z=1所围成的空间闭区域

利用高斯公式计算曲面积分I=∫∫(∑)xdydz+ydzdx+zdxdy,为曲面z=x2+y2,z=1所围成的空间闭区域的外侧

raindida1年前1

沉沉暮霭 共回答了19个问题 | 采纳率94.7%

原式=∫∫∫(1+1+1)dxdydz (应用奥高公式)
=3∫dθ∫rdr∫dz (作柱面坐标变换)
=6π∫(1-r^2)rdr
=6π(1/2-1/4)
=3π/2。

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用高斯公式计算曲面积分∫∫(zdxdy+xdydz+ydzdx)/(x^2+y^2+z^2)

用高斯公式计算曲面积分∫∫(zdxdy+xdydz+ydzdx)/(x^2+y^2+z^2)
∑是半球面x^2+y^2+z^2=a^2(a>0,z>=0)的上侧
是要把P、Q、R分别求偏导吗?但是那样会更麻烦啊……拜托了

胡贤悠1年前0

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高斯公式 通量与散度这一节的

高斯公式 通量与散度这一节的

大懒_清1年前0

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高斯公式提问高斯公式的 ∮x3dydz+y3dzdx+z3 dxdy,其中曲面为球面x2+y2+z2=a2的内侧,求偏导

高斯公式提问
高斯公式的 ∮x3dydz+y3dzdx+z3 dxdy,其中曲面为球面x2+y2+z2=a2的内侧,求偏导后为什么不能直接带x2+y2+z2=a2?

huangdegui1年前1

fail 共回答了24个问题 | 采纳率100%

求偏导数之后,将曲面积分转化为三重积分.
三重积分是对球体进行的,其内部的点不满足x2+y2+z2=a2
所以不能代入.

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高数高斯公式的题目∫∫xydydz+xdzdx+x*xdxdy 积分下标Σ为z=根号（4-x*x-y*y）Σ用高斯公式求

高数高斯公式的题目
∫∫xydydz+xdzdx+x*xdxdy 积分下标Σ为z=根号（4-x*x-y*y）
Σ
用高斯公式求解
积分下标Σ为z=根号（4-x*x-y*y）的曲面上半部分

hyd1221年前0

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对面积的曲面积分,我用普通方法算出来和高斯公式结果不一样,正确答案是2/3兀.帮我看一下我的普通方法哪里错了,

Sydenham1年前1

海疆江风 共回答了14个问题 | 采纳率92.9%

应该是前两个不该为零,对第一个,当S向上时,X>0,s向下时,X

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这个曲面积分能不能使用高斯公式,

草原小子1年前1

乞盟 共回答了20个问题 | 采纳率95%

可以用高斯定理,但是会比较麻烦.
可以这样做,很快.
因为积分曲面的法向量为n=(x,y,0)
所以dydz:dzdx:dxdy=x:y:0
所以dzdx=(y/x)dydz, dxdy=0
带入原积分得到
原积分=∫∫zdydz+xyz(y/x)dzdx+0
=∫∫（z＋y^2z)dydz
=∫(0->h)dz ∫(-a->a) z(1+y^2)dy
=(a^3+3a)h^2/3

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高数:(高斯公式)一道计算证明题

高数:(高斯公式)一道计算证明题
区域Q表示为|u|+|v|+|w|

雷区小强1年前1

lss520 共回答了24个问题 | 采纳率87.5%

本题中,对我们习惯的x、y、z是用字母u、v、w来记的.区域Q是,截距式平面u+v+w=1与3个坐标面所围.围成区域Q的曲面共4片,其中3个分别是在3个坐标面上,1个是在平面u+v+w=1上.现在,取这些围成闭区域Q的闭曲面上的曲面积分...

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请教一道关于高斯公式计算曲面积分的题目（见同济五版高等数学P170例2）

良心xx1年前0

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高等数学-高斯公式的应用问题?上题是有解析,其中有一个问题我不理解,其中S的正方向取得内侧,而S1和S2取得都是外侧,即

高等数学-高斯公式的应用问题?


上题是有解析,其中有一个问题我不理解,其中S的正方向取得内侧,而S1和S2取得都是外侧,即一个立体,的表面一个取内侧,两个取外侧,为什么也可以用高斯公式?或者说表面有内有外,取三重积分的时候为什么三重积分变号?有一个内侧就变号?应该怎么考虑这个问题呢?

nephropwj1年前2

旧时上苑 共回答了12个问题 | 采纳率91.7%

积分题目一般都要画图.要注意的是上侧不一定指的就是外侧,像球面z=√(R^2-x^2-y^2)这种向上向外凸出的曲面,上侧对应外侧,如果曲面是向下凸出的,比如z=x^2+y^2,上侧的法向量是指向内部的.
S是单叶旋转双曲面,z的值越大,向上的开口越大,与z=x^2+y^2的图形类似,向外鼓起来.所以上侧的法向量是指向内部的.加上z=1与z=2封闭后,S的上侧对应于闭曲面的内侧.所以z=1要用到上侧,z=2要用到下侧,这样三个有向曲面合起来是区域Ω的边界曲面的内侧.

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关于曲面积分的一道选择题,用了高斯公式之后呢?

关于曲面积分的一道选择题,

用了高斯公式之后呢?

ehacha1年前1

Heiditian 共回答了18个问题 | 采纳率83.3%

高斯定理之后,根据立方体V上,三个变量x,y,z的地位的对等性,对x,y,z的多项式的积分相等,
即∫∫∫6y^5dV=∫∫∫6x^5dV
∫∫∫7z^6dV=∫∫∫7x^6dV
所以原积分=∫∫∫(5x^4+6y^5+7z^6)dV
=∫∫∫(5x^4+6x^5+7x^6)dV
=1x1x∫(0->1) (5x^4+6x^5+7x^6)dx
=3

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做积分曲面题时,什么时候用高斯公式,什么时候用斯托克斯公式,什么时候用两类积分之间的关系?

阔海豚1年前1

yingying822 共回答了21个问题 | 采纳率100%

一般来说计算重积分要比计算曲面积分容易,因此对坐标的曲面积分,如果积分曲面是闭合曲面或比较容易通过添加其他曲面后构成闭合曲面（添加的曲面要求在其上的积分容易计算）,一般用高斯公式.三维空间的对坐标的曲线积分不如曲面积分好计算,因此用斯托克斯公式将闭曲线的曲线积分变为曲面积分.

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二重积分,可能要用格林公式或者高斯公式

二重积分,可能要用格林公式或者高斯公式
设f(x,y)在x²+y²≤1的圆域二阶可微,∂²f/∂x² + ∂²f/∂y²=e^(-x²-y²),求二重积分∫∫(x×∂f/∂x+y×∂f/∂y)dxdy,积分区域为该单位圆

andygulv1年前2

抽风0095 共回答了18个问题 | 采纳率88.9%

(x×∂f/∂x+y×∂f/∂y)几何意义,是位置向量(x,y)与梯度(∂f/∂x, ∂f/∂y)这两个向量的内积.
∂²f/∂x² + ∂²f/∂y²是laplace算符,看起来奇怪,还有个名字更加奇怪了,其实就是梯度的梯度,梯度就是增长最快的方向,其实就是个向量,不要想复杂了,那就窘了.
∫∫(x×∂f/∂x+y×∂f/∂y)dxdy其实就是求和,有多少个东西要被加起来?有一个单位圆面那么多的元素啊.那我就一个圆,一个圆加,从半径是1的一直到半径是0的可以吧.
对于半径为r的小圆周,(x,y)向量与圆周垂直,所以∫(x×∂f/∂x+y×∂f/∂y)本质就是∫,沿着半径r的圆周积分.表示两个向量的内积,一个是法向量n=(x,y),另一个是梯度向量F=(∂f/∂x,∂f/∂y)
由gauss散度定理,对于任何向量函数G,∫=∫∫梯度算符内积作用在G,而梯度作用两次的结果恰好是laplace算符,所以∫＝∫∫(∂²f/∂x² + ∂²f/∂y²)dxdy=∫∫e^(-x²-y²)dxdy,然后对每个半径r的小圆周,你把所有的结果加起来,就是∫∫∫re^(-x²-y²)dxdydr,就是∫∫∫re^(-r²)drdxdy,就是∫∫ [∫re^(-r²)dr] dxdy, 其中[∫re^(-r²)dr]=[(1/2)∫e^(-r²)(dr²)]=(1/2)[∫e^(-t)dt](从0到1)=1/2e,然后∫∫ (1/e) dxdy= 3.14/2e

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不用高斯公式直接计算.

云极1年前1

roshingjun 共回答了17个问题 | 采纳率82.4%

直接计算如下：
Ι=∫∫（∑1上）+∫∫（∑2上）+∫∫（∑3上）
其中∑1：y=1,下侧（化为二重积分时有负号）
∑2：y=2,上侧
∑3：y=z^2+x^2,下侧（化为二重积分时有负号）
先求∫∫（∑1上）：
解y=z^2+x^2与y=1得z^2+x^2=1,得∑1在xoz面的投影为D1：z^2+x^2≤1,在极坐标下D1：0≤Θ≤2Π,0≤r≤1,
于是∫∫（∑1上）=（曲线积分代入y=1）∫∫（∑1上）e/√（z^2+x^2）dxdz
=（化为二重积分）-∫∫（D1上）e/√（z^2+x^2）dxdz
=（化为极坐标下定积分）-∫（0到2Π）dΘ∫（0到1）er/rdr=（积出）-2Πe.
同理求∫∫（∑2上）：
解y=z^2+x^2与y=2得z^2+x^2=2,得∑2在xoz面的投影为D2：z^2+x^2≤2,在极坐标下D2：0≤Θ≤2Π,0≤r≤√2,
于是∫∫（∑2上）=（曲线积分代入y=2）∫∫（∑2上）e^√2/√（z^2+x^2）dxdz
=（化为二重积分）∫∫（D2上）e^√2/√（z^2+x^2）dxdz
=（化为极坐标下定积分）∫（0到2Π）dΘ∫（1到2）re^√2/rdr=（积出）2√2Πe^√2.
再求∫∫（∑3上）：
解y=z^2+x^2,y=1与y=2得z^2+x^2=1及z^2+x^2=2,得∑3在xoz面的投影为D3：1≤z^2+x^2≤2,在极坐标下D3：0≤Θ≤2Π,1≤r≤√2,
于是∫∫（∑3上）=（曲线积分代入y=z^2+x^2）∫∫（∑3上）e^√（z^2+x^2）/√（z^2+x^2）dxdz
=（化为二重积分）-∫∫（D3上）e^√（z^2+x^2）/√（z^2+x^2）dxdz
=（化为极坐标下定积分）-∫（0到2Π）dΘ∫（1到√2）re^r/rdr=（积出）-2Π（e^√2- e）.
故原式I=∫∫（∑1上）+∫∫（∑2上）+∫∫（∑3上）
= -2Πe+2√2Πe^√2-2Π（e^√2- e）=2Πe^√2（√2-1）.

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高斯公式,斯托克斯公式,格林公式,有什么联系啊

magnolia12111年前2

jsy0yy 共回答了27个问题 | 采纳率85.2%

格林公式表达了平面闭区域上二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系,而高斯公式表达了空间比区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.
其实格林公式就是二重积分与曲线积分之间的转换,而高斯公式就是三重积分与曲面积分的转换；
而斯托克公式是格林公式的推广,把曲面积分与沿曲面边界的曲线积分联系起来.注意斯托克公式中,若边界L在xoy面上,则有dz=0.即得到了格林公式.
因为最近在准备考试,时间有点紧张,所以说的不是很详细,不知能不能明白.如果不行的话, 等明天或后天我会列出公式给你详细的补充.

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怎么利用格林公式和高斯公式以及函数1/sqrt(x^2+y^2+z^2)证明

怎么利用格林公式和高斯公式以及函数1/sqrt(x^2+y^2+z^2)证明
1/R^3*(u在B(O,R)上积分)>=1/r^3*(u在B(O,r)上积分),其中r=0

liaya8111201年前1

yuyang3028 共回答了15个问题 | 采纳率93.3%

不会呀?

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高斯公式.我想问一下..为什么曲面没有上侧或下侧就是不封闭...这里的封闭是什么一个概念...

精灵鬼怪1年前3

骂人被封号 共回答了19个问题 | 采纳率84.2%

封闭就是没有空隙,就像是一个立体不缺任何侧壁盖子之类的面；
比如z=x^2+y^2这个曲面就是不封闭的,但要是加上了z=1这个曲面（相当于一个盖子）就构成了闭合曲面

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关于高斯公式大学高等数学曲线积分与曲面积分一章.高斯公式用来计算边界曲面的外侧积分.我想知道：如果计算边界曲面的内侧积分

关于高斯公式
大学高等数学曲线积分与曲面积分一章.高斯公式用来计算边界曲面的外侧积分.我想知道：如果计算边界曲面的内侧积分的话,是否是在高斯公式加个负号就可以.如果不可以,那要怎样计算?

amadbee1年前3

桃红色的鸵鸟 共回答了21个问题 | 采纳率85.7%

对!就是这样
就是加个符号就可以了

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三重积分 高斯公式 如图所示高斯公式做的结果是?我做出来是π*π-2πr,总觉不对.

三重积分 高斯公式 如图所示

高斯公式做的结果是?我做出来是π*π-2πr,总觉不对.

sut3211年前1

洞庭潇潇不知人间 共回答了16个问题 | 采纳率75%

补面S：z = 0下侧
∫∫(Σ+S) xydydz + xdzdx + x²dxdy
= ∫∫∫Ω (y + 0 + 0) dV
= 0
∫∫S xydydz + xdzdx + x²dxdy
= - ∫∫D x² dxdy、

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高斯公式题目设Σ是锥面z=√x^2=y^2,(0

_猪哥哥_1年前1

zniiyp 共回答了18个问题 | 采纳率77.8%

添加曲面[Σ2]:z=√x^2+y^2,z=1将曲面补成闭合曲面(法向量向内)
∫∫[Σ]+[Σ2] Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫∫∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂zdxdydz
P=1,Q=2,R=3,∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z=0
∫∫[Σ] dydz+2dzdx+3dxdy=0-∫∫[Σ2] dydz+2dzdx+3dxdy=-∫∫[Σ2] 3dxdy
=-3*(曲面Σ2的面积)=-3π

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高数积分计算求曲面积分,格林公式,高斯公式之间的关联,有点小混乱~

yimeng02021年前1

bluesea_6199 共回答了21个问题 | 采纳率95.2%

格林公式是高斯公式的二维版
格林和高斯都可用来求曲面积分
但是都要求是单连通区域
格林用在二维,高斯是2,3维甚至n维
格林是把闭曲线积分和二重积分联系在了一起
高斯则是把曲面积分和三重积分联系在了一起（n维类似）

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利用高斯公式求解第二类曲面积分的题目,

利用高斯公式求解第二类曲面积分的题目,
被积项是（2xydydz+yzdzdx-z^2dxdy）,S是由锥面z=(x^2+y^2)的二分之一次方 与半球面z=(2-x^2-y^2)的二分之一次方 所围成的区域边界曲面的外侧.

卡通公主1年前1

jill1229 共回答了20个问题 | 采纳率95%

用一次高斯公式后剩下的项为对2y+3z的三重积分积分区域为为上述面包围的体积,有对称性对2y的积分为零,只对3z积分,用球坐标代换,角参数为0到二派,负四分之派到四分之派,r=根号2,算得结果为零

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利用高斯公式计算,其中S是上半球面与圆锥面所围立体表面的外侧.

fish-kitty1年前1

onlyrainy 共回答了16个问题 | 采纳率100%

取下侧面,才能用高斯公式原式=∫∫∫(1+1+1)dxdydz=3∫∫∫dxdydz=【3×（4/3）（πR^3）】/2=2πR^3 （这里就是计算半个球的体积）

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数学上的高斯公式跟物理上的高斯定律哪个在先?

数学上的高斯公式跟物理上的高斯定律哪个在先?
是物理学先发现了高斯定律 然后抽象出了高斯公式 还是数学上早就有了高斯公式然后用在物理学上就发现高斯定律.

久违了的心跳感觉1年前1

恋浩彬 共回答了18个问题 | 采纳率100%

数学上的高斯公式(Gauss's theorem)于1762年首先被拉格朗日发现,而在1813年高斯又一次独立发现这个公式,于1826年被证明.而物理上的高斯定律(Gauss's law)于1835年由高斯给出,但是直到1867年才公布.

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高斯公式正负号的问题我看到有人说闭合曲面外侧为正,内侧为负!非闭合曲面上外正,下外负,右为正,左为负,前为正,后为负!

rain_yu1年前0

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求教一道高数有关高斯公式的问题∫∫S 2*(1-x^2)dydz+8xydzdx-4xzdxdy,其中S是xOy面上曲线

求教一道高数有关高斯公式的问题
∫∫S 2*(1-x^2)dydz+8xydzdx-4xzdxdy,其中S是xOy面上曲线x=e^y(0≤y≤a)绕x轴旋转所成的旋转曲面的凸的一侧

yellowkey1年前0

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