在△ABC中,a=2bcosc,则此三角形是?

法1：由余弦定理得cosC=
a2+b2−c2
2ab，
把cosC代入a=2bcosC得：a=2b•
a2+b2−c2
2ab，
整理得a²=a²+b²-c²，
∴c²=b²．又b和c都大于0，
则b=c，即三角形为等腰三角形．
法2：由正弦定理得sinA=2sinBcosC，
即sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，
整理得sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，
即B=C，
则三角形为等腰三角形，
故选：A．

点评：
本题考点： 正弦定理．

考点点评： 此题考查了正弦定理和余弦定理，以及三角形的形状判定，利用余弦定理表示出cosC是本题的突破点．

∵当a=2bcosC时，
∴cosC=[a/2b]
∵cosC=
a2+b2−c2
2ab
∴[a/2b]=
a2+b2−c2
2ab，化简整理得b=c
∴△ABC为等腰三角形．
反之，“△ABC是等腰三角形，不一定有b=c，
从而a=2bcosC不一定成立．
则“a=2bcosC”是“△ABC是等腰三角形”的充分不必要条件．
故选A．

点评：
本题考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．

考点点评： 本题主要考查了解三角形的应用和三角形形状的判断．解题的关键是利用了cosC这一桥梁完成了问题的转化．

因为在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=2bcosC，
由余弦定理可知：a=2b
a2+b2−c2
2ab，可得b²-c²=0，
∴b=c．
所以三角形是等腰三角形．
故选D．

点评：
本题考点： 三角形的形状判断．

考点点评： 本题考查三角形的形状的判断，余弦定理的应用，考查计算能力．

证明：由余弦定理的推论得，cosC=
a2+b2−c2
2ab．
由a=2bcosC得，cosC=[a/2b]，
∴
a2+b2−c2
2ab=[a/2b]，整理得b²=c²．
则b=c，
即△ABC是等腰三角形．

点评：
本题考点： 余弦定理；正弦定理．

考点点评： 本题主要考查余弦定理的推论的应用，以及判断三角形的形状，属于中档题．

∵a=2bcosC，由正弦定理可得，
2sinBcosC=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0，
∴B-C=0，∴B=C，∴b=c，
∴bcosB=ccosC，
∵acosA+bcosB=ccosC，∴acosA=0，
∵a≠0，∴cosA=0，∴A＝
π
2，
∴△ABC是等腰直角三角形．

点评：
本题考点： 余弦定理；正弦定理．

考点点评： 本题考查正弦定理、余弦定理，考查和角公式，判断三角形形状的基本方法是“化边”或“化角”．

法1：由余弦定理得cosC=
a2+b2−c2
2ab，
把cosC代入a=2bcosC得：a=2b•
a2+b2−c2
2ab，
整理得a²=a²+b²-c²，
∴c²=b²．又b和c都大于0，
则b=c，即三角形为等腰三角形．
法2：由正弦定理得sinA=2sinBcosC，
即sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，
整理得sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，
即B=C，
则三角形为等腰三角形，
故选：A．

点评：
本题考点： 正弦定理．

考点点评： 此题考查了正弦定理和余弦定理，以及三角形的形状判定，利用余弦定理表示出cosC是本题的突破点．

（Ⅰ）已知等式2bcosC=2a-c利用正弦定理化简得：
2sinBcosC=2sinA-sinC=2sin（B+C）-sinC=2sinBcosC+2cosBsinC-sinC，
整理得：2cosBsinC-sinC=0，
∵sinC≠0，∴cosB=[1/2]，
则B=60°；
（Ⅱ）∵cosC=[2/3]，C为三角形内角，
∴sinC=
1−cos2C=

5
3，
则sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=

3
2×[2/3]+[1/2]×

5
3=
2
3+
5
6．

点评：
本题考点： 余弦定理．

考点点评： 此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．

∵在△ABC中，cosC=
a2+b2−c2
2ab，
∴a=2bcosC=2b•
a2+b2−c2
2ab
∴a²=a²+b²-c²，
∴b²=c²，
∴b=c．
∴△ABC为等腰三角形．
故选C．

点评：
本题考点： 三角形的形状判断．

考点点评： 本题考查△ABC的形状的判断，着重考查余弦定理，属于中档题．

将a=2bcosC，利用正弦定理化简得：sinA=2sinBcosC，
∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，即sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，
∵B与C为三角形内角，∴B-C=0，即B=C，
则△ABC为等腰三角形．
故答案为：等腰

点评：
本题考点： 正弦定理；两角和与差的正弦函数；三角形的形状判断．

考点点评： 此题考查了三角形形状的判断，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．

将a=2bcosC，利用正弦定理化简得：sinA=2sinBcosC，
∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，即sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，
∵B与C为三角形内角，∴B-C=0，即B=C，
则△ABC为等腰三角形．
故答案为：等腰

点评：
本题考点： 正弦定理；两角和与差的正弦函数；三角形的形状判断．

考点点评： 此题考查了三角形形状的判断，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．

（1）∵bcosA-2ccosB=2bcosC-acosB，
∴sinBcosA-2sinCcosB=2sinBcosC-sinAcosB，
∴sinBcosA+sinAcosB=2（sinCcosB+sinBcosC），
∴sin（A+B）=2sin（B+C），
又A+B+C=π，
∴sinC=2sinA，
∴[sinC/sinA]=2；
（2）由[sinC/sinA]=2得c=2a，
∵cosB=[1/4]，b=2，
∴由余弦定理可得4=a²+4a²-4a²×[1/4]
∴解得a=1．
因此c=2，
∵cosB=[1/4]，
∴sinB=

15
4，
∴△ABC的面积S=[1/2]acsinB=[1/2]×1×2×

15
4=

15
4．

点评：
本题考点： 余弦定理的应用；正弦定理的应用．

由a=2bcosC及正弦定理，得 sinA=2sinB cosC，又 A=π-B-C，可化为sin（B+C）=2sinB cosC，展开整理得sin（B-C）=0，（4分）在三角形中得B-C=0，即B=C，可得b=c．（6分）于是由b+c=3a，得2b=3a，因此 cosC=a2b=13，（...

点评：
本题考点： 解三角形．

考点点评： 本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，判断三角形的形状的方法，属于中档题．

法1：由余弦定理得cosC=
a2+b2−c2
2ab，
把cosC代入a=2bcosC得：a=2b•
a2+b2−c2
2ab，
整理得a²=a²+b²-c²，
∴c²=b²．又b和c都大于0，
则b=c，即三角形为等腰三角形．
法2：由正弦定理得sinA=2sinBcosC，
即sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，
整理得sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，
即B=C，
则三角形为等腰三角形，
故选：A．

点评：
本题考点： 正弦定理．

考点点评： 此题考查了正弦定理和余弦定理，以及三角形的形状判定，利用余弦定理表示出cosC是本题的突破点．