近世代数的题,模15的剩余类加群的所有子群是什么?

对任意x,y∈G,有(xy)²=e
=>xyxy=e=>xyxy²=y
=>xyx=y=>x²yx=xy
=>yx=xy,∴G就是交换群
比如G={1,-1}按乘法运算就是满足条件的一个交换群

这是 晋 张华写的《博物志》中提到的.
牛郎织女故事．
天河与海通,近世有人居海渚者,年年八月,有浮槎来去,不失期.人有奇志,立飞阁于槎上,多赍粮,乘槎而去.至一处,有城郭状,屋舍甚严,遥望宫中多织妇,见一丈夫牵牛渚次饮之,此人问此何处,答曰‘君还至蜀郡问严君平则知之.
苏轼于熙宁七年九月从杭州通判移任密州知州,与同时奉召还汴京的杭州知州杨元素同舟至湖州访李公择,陈令举、张子野同行,并与刘孝叔会于湖州府园之碧澜堂,称为“六客之会”,席上张子野作《定风波令》,即“六客词”,会后同泛舟游吴松江,至吴江垂虹亭畅饮高歌,“坐客欢甚,有醉倒者”.但作者不是径直叙写这段经历,仍借与天河牛女有关的故事来进行比况.张华《博物志》载一则故事说：天河与海相通,年年有浮槎定期往来,海滨一人怀探险奇志,便多带干粮,乘槎浮去.经十余日,至一城郭,遇织布女和牵牛人,便问牵牛人,此是何处.牵牛人告诉他回去后问蜀人严君平便知.

交个朋友,帮你翻译一下吧.
自古以来圣明的帝王尚且需要勤奋学习,何况是普通的老百姓呢?学习从经史开始,我也不能说出那些是重点,姑且列举近代的要篇,以做启蒙之用.士大夫的子弟,到了一定年龄,都要接受教育,学的多的到《礼》、《传》,学的少的也至少学了诗、论.到了成年结婚的年龄,身体和性格都只稍稍定性,在这个时候,要加倍训导.有远大志向的,可以自我磨砺,去成就伟业；没有志向的,会自甘堕落、散漫,成为凡夫俗子.
分离容易再见难,这事古人看重的.江南饯行,哭着说离别.王子侯,梁武帝的弟弟,离开都城去东郡,与武帝告别,武帝说：我年纪大了,与你分别,感到非常伤感、难受.说着流下了眼泪.王子侯于是就秘密的告别,羞愧的走了.因为这个被责怪,在船上漂泊百来天,最后还是没有离去.北方的风俗,不屑于离别,在路口分道扬镳,笑着转身.然而还是有人很少流泪,虽然心里悲痛欲绝,但还是强颜欢笑；这样的人,不应该过分的责备.
借人家的书,要爱惜保护,有缺失损坏,要把书粘补好,这也是士大夫众多品行之一.济阳的江禄,书没读完,即使有急事,也一定等把书整理好才起身,所以书没有损坏,别人也不会怪他怠慢.有的人书桌上一片狼藉,书散了、丢了,大多是孩子、奴仆乱涂乱画,风雨蛀虫老鼠所毁坏,实在是有损德行.我每次读圣人的书,都肃然起敬；书上有五经的道理和贤达的姓名,我不敢弄脏了它.
梁孝元以前在荆州,有个叫丁觇的人,也就是洪亭民,比较擅长书法,尤其是草书和隶书；孝元写文案记录事件,都用他.军府的人认为这很轻贱,多数都不看重他,不让自己的孩子学习他的书法,当时有句话讲：丁觇写十幅字比不上王褒的几个字.我喜爱他的书法,经常当宝贝一样收藏.孝元曾经让典签惠编送丁觇的字给萧祭酒看,萧祭酒说：真是书法好手,是谁写的,怎么没听过他的名字?惠编如实回答.子云欢说：这个人在后生里无人可比,所以不被世人称赞,也是奇事一件了.听到这话的人对丁觇都有些刮目相看.不久升官做尚书仪曹郎,后来有做晋安王的侍读,跟随晋安王东下.西台沦陷后,丁觇的书法作品散佚,丁觇也死在了扬州；以前看轻丁觇书法的人,想要找丁觇一幅字也得不到了.
一字字打出来,只为更多的朋友喜欢文言文.毕竟老祖宗的东西,不能全丢了.

抽象代数即近世代数.
代数〔Algebra〕是数学的其中一门分支,当中可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分.
初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的方程理论,主要研究某一方程〔组〕是否可解,如何求出方程所有的根〔包括近似根〕,以及方程的根有何性质等问题.
法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题.他是第一个提出「群」的思想的数学家,一般称他为近世代数的创始人.他使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学,即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期.
抽象代数学对于全部现代数学和一些其它科学领域都有重要的影响.抽象代数学随着数学中各分支理论的发展和应用需要而得到不断的发展.经过伯克霍夫、冯.诺伊曼、坎托罗维奇和斯通等人在1933-1938年所做的工作,格论确定了在代数学的地位.而自20世纪40年代中叶起,作为线性代数的推广的模论得到进一步的发展并产生深刻的影响.泛代数、同调代数、范畴等新领域也被建立和发展起来.
中国数学家在抽象代数学的研究始于30年代.当中已在许多方面取得了有意义和重要的成果,其中尤以曾炯之、华罗庚和周炜良的工作更为显著.

抽象代数
抽象代数又称近世代数,它产生于十九世纪.
抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科.由于代数可处理实数与复数以外的物集,例如向量、矩阵超数、变换等,这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定,而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来,并因此而达到更高层次,这就诞生了抽象代数.抽象代数,包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支,并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科.抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言.
被誉为天才数学家的伽罗瓦（1811-1832）是近世代数的创始人之一.他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件,他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题.伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一.他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答,解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题.伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法,圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的.最重要的是,群论开辟了全新的研究领域,以结构研究代替计算,把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式,并把数学运算归类,使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支,对近世代数的形成和发展产生了巨大影响.同时这种理论对于物理学、化学的发展,甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响.
1843年,哈密顿发明了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数.第二年,Grassmann推演出更有一般性的几类代数.1857年,凯莱设计出另一种不可交换的代数——矩阵代数.他们的研究打开了抽象代数(也叫近世代数)的大门.实际上,减弱或删去普通代数的某些假定,或将某些假定代之以别的假定(与其余假定是兼容的),就能研究出许多种代数体系.
1870年,克隆尼克给出了有限阿贝尔群的抽象定义；狄德金开始使用“体”的说法,并研究了代数体；1893年,韦伯定义了抽象的体；1910年,施坦尼茨展开了体的一般抽象理论；狄德金和克隆尼克创立了环论；1910年,施坦尼茨总结了包括群、代数、域等在内的代数体系的研究,开创了抽象代数学.
有一位杰出女数学家被公认为抽象代数奠基人之一,被誉为代数女皇,她就是诺特, 1882年3月23日生于德国埃尔朗根,1900年入埃朗根大学,1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位.
诺特的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展中有重要影响.1907-1919年,她主要研究代数不变式及微分不变式.她在博士论文中给出三元四次型的不变式的完全组.还解决了有理函数域的有限有理基的存在问题.对有限群的不变式具有有限基给出一个构造性证明.她不用消去法而用直接微分法生成微分不变式,在格丁根大学的就职论文中,讨论连续群(李群)下不变式问题,给出诺特定理,把对称性、不变性和物理的守恒律联系在一起.
1920~1927年间她主要研究交换代数与「交换算术」.1916年后,她开始由古典代数学向抽象代数学过渡.1920年,她已引入「左模」、「右模」的概念.1921年写出的是交换代数发展的里程碑.建立了交换诺特环理论,证明了准素分解定理.1926年发表,给戴德金环一个公理刻画,指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件.诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论,一般认为抽象代数形式的时间就是1926年,从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布,进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构,完成了古典代数到抽象代数的本质的转变.诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一.
1927－1935年,诺特研究非交换代数与「非交换算术」.她把表示理论、理想理论及模理论统一在所谓“超复系”即代数的基础上.后又引进交叉积的概念并用决定有限维枷罗瓦扩张的布饶尔群.最后导致代数的主定理的证明,代数数域上的中心可除代数是循环代数.
诺特的思想通过她的学生范．德．瓦尔登的名著得到广泛的传播.她的主要论文收在(1982)中.
1930年,毕尔霍夫建立格论,它源于1847年的布尔代数；第二次世界大战后,出现了各种代数系统的理论和布尔巴基学派；1955年,嘉当、格洛辛狄克和爱伦伯克建立了同调代数理论.
到现在为止,数学家们已经研究过200多种这样的代数结构,其中最主要德若当代数和李代数是不服从结合律的代数的例子.这些工作的绝大部分属于20世纪,它们使一般化和抽象化的思想在现代数学中得到了充分的反映.

任取a∈ Hi,以及g∈ G,根据题目可知,g可以写成
b1b2……bn
那么
g^{-1}ag=bn^{-1}……b2^{-1}b1^{-1}ab1b2……bn
=bn^{-1}……b2^{-1}b1^{-1}b1b2……bna
=a∈ Hi
这便说明Hi是正规子群.
第二个等号用到了题目中的交换性

估计百度无高手专家教授.

由Sylow定理知35阶G群有唯一的5阶子群A和7阶子群B,且A和B都是正规子群
取A中的5阶元a和B中的7阶元b,由A和B的正规性以及A∩B={e}得ab=ba,这样ab就是G的35阶元,即G必定是循环群

设子群为H,那么取h∈H,h=a^m e是单位元
建立集合 S= { n| a^n∈H,a^n≠e,n自然数}
令 k = min S ,显然k>0,那么我们说 H中的任意元素h,都能写成 a^(km)形式.
从而命题得证
如若不然,存在 l=km+s, 0

lz想要表达的是什么意思?理想就是环的某个含有特殊性质的子集.这个性质就是定义中所谓的任意子集中的元素与环的元素的乘法运算还是属于子集.有点吸收的意思.其他么,整数环是一个主理想整环（PID）.还有就是一个元素可以人工的构造出由它生成的理想.此外还有商集啊一些定义.lz补充下问题吧.

张无垢谪横浦,寓城西宝界寺.其寝室有短窗,每日昧爽执书立窗下,就明而读.如是者十四年.洎北归,窗下石上,双趺之迹隐然,至今犹存.
【译文】
张九成被贬官到横浦,住在城西的界寺.他住的房间一扇短窗,每天天将亮时,他总是拿着书本站在窗下,就着微弱的晨光读书.这样一直坚持了十四年这久.等到他回到北方了,在窗下的石头上,双脚踏出的痕迹还隐约可见.

定义二元关系s~t:如果Card(s)=Card(t),那么[s]=[t]；
证明：1.自反性,s=s,Card(s)=Card(s),则[s]=[s】；
2.对称性,t,[s]=[t],Card(s)=Card(t),s
3传递性,t,r,Card(s)=Card(t),Card(t)=Card(r),则Card(s)=Card(r),从而[s]=[r],即s~r
等价类：[o],[1],[1,2],[1,2,3],[1,2,3,4],[1,2,3,4,5];
2^A/~:

实变函数,顾名思义,是实函数,但不是常规的实函数,是广义的实函数,更多研究的是“突变”类型的实函数,比如,我们在数学分析中主要谈论的还是连续函数可微函数,对于很不连续的函数便不再研究,比如狄利克雷函数黎曼函数等等,但实变函数便研究这种函数,求这种函数的积分等等
复变函数,顾名思义,是复函数,是将数学分析中的函数扩展到复函数,研究这些函数的解析性质
近世代数是代数学的一个分支,研究近代以来的代数学,主要是群环域理论,这是三个很重要的代数系统
实变是公认比较难的

再自学一点微分方程和泛函分析,最好再掌握一些特殊函数,量子力学里面需要用到.另外还取决于你的物理基础,统计物理的知识也要有一些.

顺着你说的这几个进一步,算子理论,算子代数,非交换几何.各种表示论,量子群,李理论,代数K理论.代数拓扑.代数几何,算术代数几何,非交换代数几何.各种流形.复分析,复几何.等等等等,不胜枚举.

无穷多个,因为:
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环的理想的定义：环的子集,且满足条件：(1)对加法封闭；(2)理想中的元素乘以环中的元素都在这个理想中.
例：整数环中的所有偶数,满足条件：(1)对加法封闭,因为偶数加偶数还是偶数；(2)理想中的元素乘以环中的元素都在这个理想中,因为偶数乘整数都是偶数.所以所有偶数组成理想.
类似地,所有能被三整除的数组成理想；所有能被四整除的数组成理想；…….
可以证明整数环的每个理想都可以写成“所有能被n整除的数”,n是某个整数（当n=0时,对应的理想只由0组成；当n=1时,对应的理想是所有整数）.这样的理想（所有能被环中某个元素整除的元素）叫做“主理想”,这样的环（所有的理想都是主理想）叫做“主理想整环”.整数环就是一个主理想整环.

写点参考意见.
主理想(principal ideal)是指可以由一个元素生成的理想啦.
如果 A 是一个有幺元的交换环(commutative ring with unit element), 那么 A 的主理想都形如
A a = { x a | x 属于 A }
这里 a 是 A 的某个元素, 它是这个主理想 Aa 的一个生成元.

不是幺半群,1不是幺元 ,
幺元要求对所给代数运算满足e*z=z(*只是泛指规定的代数运算,给定加法时*就是+)
取2+1=3（不=）2
你说的1*z=z是乘法 而非加法
加法的幺元是0 但正整数集没有0 故正整数集关于加法不是幺半群

证明：做子群H在G上的群作用：对任何一个 ,H*x={hah^-1:h属于H} .
从而|H*a| =|H：stab（a）|,这就表明全体形如hah^-1 的元素的个数必然是整除|H| .

设G是一个非空集合,*是它的一个代数运算,如果满足以下条件：Ⅰ.结合律成立,即对G中任意元素a,b,c都有 (a*b)*c=a*(b*c)； Ⅱ.G中有元素e,叫做G的左单位元,它对G中每个元素a都有 e*a=a； Ⅲ.对G中每个元素a在G中都有元素a^（-1）,叫做a的左逆元,使 a^（-1）*a=e； 则称G对代数运算*做成一个群.

1.
（1）5²=25=1,所以|5|=2
（2）设KG2,有|G1|=|kerf||Imf|
所以对于h:G->G,有|G|=|K||h(G)|
所以|K|是4,|G/K|=|Im h|=|h(G)|=3

近世代数（数学核心教材） 简介：本书系统介绍了群、环、域的基本概念与初步性质.全书共分三个部分.第一部分讲述群的基本概念与性质,除了通常的群、子群、正规子群及群同态的基本定理外,还介绍了群的应用.第二部分包括环、子环、理想与商环的基本概念与性质,特别讨论了整环的性质.第三部分讨论了域的扩张的理论.本书可作为高等院校数学专业本科生的教材和参考书.

运算法则

如图…昨天答的被秒删，希望不要再被删。。。T_T

第一题：
对任意a,b∈G有ba=a^-1ababb^-1=a^-1(ab)^2b^-1=a^-1a^2b^2b^-1=ab
G是able群
第二题：
Z的全部子群为nZ={0,±n,±2n,...}其中n为正整数
Z12的全部子群为,Z1,Z2,Z3,Z4,Z6,Z12
第三题：
不知道子半群对应的是什么定义.如果仅是满足结合率的话,一般的实数集关于乘法是半群,因为0没有逆元.其子集R-还是满足结合率,但没有幺元了.

元就是元素,因为群本身也构成了一个集合,群是一个定义某种代数运算的集合.

这可不可以考虑为一个域扩张的问题?因为我们不妨找一些特殊情况来证明存在性问题.对于一个无限域F,设K/F是域扩张,且[K:F]=n, 那么在K中存在子集S,使得子集中任意m个元素(m

将（a-b）的p方按照二项式定理展开,第二项到倒数第二项的系数都有公因数p,因为p.1=0,所以只剩下首项和末项,即为a的p方-b的p方.

设x=a+bi,y=c+di （a,b,c,d是整数）,则x+y=a+c+(b+d)i属于Z[i]
0属于Z[i],且x+0=0+x=x
对任意x=a+bi属于Z[i],有-a-bi属于Z[i],且x+(-a-bi)=0
Z[i]是复数域的子集,由复数域上加法的结合律以及上述的第一点（z[i]对加法的封闭性）得到z[i]上加法啊结合律
综上四点,z[i]是群
5.x+y=a+c+(b+d)i=c+a=(d+b)i=y+x,所以z[i]上的加法可交换
6.xy=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i属于z[i]
7.同上述第四点,可知z[i]上的乘法满足结合律和交换律
8.1属于z[i],1x=x1=x
综上,Z[i]={a+bi|a.Z} 关于数的加法与乘法构成一个有单位元的交换环.

的确是题目错误,顺便问问,你考哪里,什么专业

一个集合分成两个真子集的并再正常不过了,怎么会不可能
如果你想问的是"任何群G都不能是两个真子群的并",那么不妨设两个真子群A和B互不包含,然后从AB和BA中各取一个元素出来相乘即可.

1无限环的特征一定是无限的;不一定,
2阶为素数的群G一定是循环群;是的,可以证明
3素理想一定是极大理想;不一定,环R是自身的素理想,却不是极大理想;
4域上多项式环是主理想环;是的

写错了吧,(2,3)H={(2,3),(1,2,3)}
方法还是把两个置换依次去作用看结果如何.
(2,3)(1,2)[1,2,3]=(2,3)[2,1,3]=[2,3,1]=(1,2,3)[1,2,3]

要是你得到错误的结论,就要从例子本身来分析.
这个集合对这个运算不构成半群.因为不满足结合律.
具体为什么我希望你自己想.

利用Q是域,验证对加减乘除封闭就行.

首先,该环显然有非零元,因为否则它就是零环了.其次,对任意非零元素a,用反证法证明a必有逆元.考虑a和环内每一个元素的乘积：ab_1,ab_2,...,ab_n.（n是环的阶）如果a没有逆元,则这n个积必然没有一个等于1.所以根据抽屉...

群当中之定义了一种运算,也就是加法；而环中定义了两种运算,首先是对于加法构成Abel群,其次定义了乘法

应该是有限半群,对无限半群不成立,如(N,+)没有幂等元.
证明：设a为有限半群G的任一元,考虑a,a^2,a^4,……,a^(2^n),……,因为G阶有限,所以必存在m>n>=0,a^(2^m)=a^(2^n)
a^(2^m-2^n)=a^(2^m+2^m-2*2^n)=a^[2(2^n-2^n)]=[a^(2^n-2^m)]^2
所以a^(2^m-2^n)是幂等元.

从右往左看(此下一行表示从右往左一轮)
第1个
1对3,所以1对3
2对1,所以2对1
3对1,1对2,所以3对2
综上所述,结果为(132)
第2个``
1对2,2对1,所以1对1
2对3,3对2,所以2对2
3对1,1对3,所以3对3
综上所述,结果为(1)
第3个
1对2,所以1对2
2对1,1对3,所以2对3
3对1
综上所述,结果为(123)

1、6 2、8 3、2 4、（3142） 5、7 6、r=s或r=-s 7、6 8、φ(p) 9、（1345） 10 (r,n)=1

第4题：
任意S,T,U∈2^A,显然|S|=|S|==>(S,S)∈R
又若（S,T）∈R==>|S|=|T|==>|T|=|S|==>(T,S)∈R
若(S,T)∈R and (T,U)∈R==>|T|=|S|=|U|==>(S,U)∈R
因此R是等价关系
其等价类有6个,分别是元素个数为0,1,2,3,4,5的6类子集.
2^A/R={U||U|=1,2,3,4,5,6}UΦ
第5题：
A×B={(1,a)(1,b)(1,c)(2,a)(2,b)(2,c)}
B×A={(a,1)(b,1)(c,1)(a,2)(b,2)(c,2)}没什么可以说的,自己写吧
第6题：
（1）a+e-ae=a==>e-ae=0(任意a成立)==>e=0可以验证a*e=a=e*a
存在
（2）e=1,可验证满足

想帮你做,可是你的题不完全,你要不用照片传吧,有些符号文本不能显示

整数集Z 反例2在整数集Z中,但1/2不在整数集Z中,---不满足封闭性

我认为群基本定理很好地回答了这个问题（参考〈〈近世代数〉〉杨子胥,高等教育出版社.2000年5月第一版,p88-p89.
我认为,在任意两个N阶群之间总是可以找到一个映射使之同态,在些同态下,
任意的N阶群G1同构于商群G/K其中K是G中含核的正规子群.而正规子群的个数就完全决定了同构群的个数.对于有个元素的群的而言,它的个数是有个的（最多的就是有限交换群.）（这里的N>1,单位群是无限个也是同构的）

4、错.幺同态就是反例.
5、错.四元数群G/是2阶群必交换.
6、对.极大理想P的商环是域所以是整环,所以P必是素理想.
7、错.因为f不一定是单射.
8、对.整数环Z的理想是子环(d),而(d)是Z的理想,所以Z的每个理想为(d),故为主理想
9、对.因为环R有限,所以每个非零元都可逆必是域
10、错.(0)是Z的素理想但不是极大理想.

把N_G(H)简记成N,要证明的就是{gHg^{-1} | g∈G}和{gN | g∈G}这两个集合元素个数相同
只要验证g1Hg1^{-1} = g2Hg2^{-1} g1N=g2N 即可
事实上容易验证两者都等价于g1^{-1}g2∈N

之前，我接受了陛下的诏书，命我搜集三国时期多方面的史料，来注释陈寿的《三国志》，陈寿的书权衡轻重得当，史实大多精审而正确，实在是像一座适宜游览观赏的园林，是近代的一部难得的史书。然而此书的缺点在于太过简略，常常有遗漏的地方。我奉旨寻求历史的详情，致力于完备周全。上溯历史搜寻过去的见闻，旁征博引遗事逸闻。我考察三国时代虽然经历的年代并不久远，但它的历史却关涉到汉晋。从开始到结束所经历的时间，相差有一百年。这期间记载注释的史料纷乱错杂，经常有许多相互抵触的地方。对于那些陈寿没有记载，但却应该记录的史料，我就全部选取，来弥补他的缺漏。或者虽然说的是同一件事情，但言辞却背离交错的，或者对于发生的事情本来就说法不一，存疑不能下论断的，我就一并记录在书中来保存不同的说法。如果是错误非常明显的，言辞不符合常理的，就在错误之处予以纠正，来警戒他的荒诞。对他记录的时事不知恰当与否应该存疑之处和陈寿有小的失误的地方，就多按我自己的意思来做分析。自从我编辑完成此书，至今已经将近一月。写作校勘刚刚完成，恭敬地封合好呈给陛下。
此文出自《上三国志注》，望采纳！

这个顺序是与书中约定有关,现在书中关于置换的乘法没有统一的标准,按习惯运算通常是从左到右的顺序,但是对置换或映射这种顺序十分不便,如有映射f,g,f将a映射到b,g将b映射到c,如先作用f再作用g,并将a在f下的象记为f(a),b在g下的象记为g(b),则g(f(a))=g(b)=c,先作用的映射f写在了后映射g后边,或者说后映射g写在了先作用的映射f的前面,这是习惯上将自变元写在映射符号之后的缘故,为此有人将映射的次序规定为从右到左的顺序,这称为左复合,将原来从左到右的顺序称为右复合,对一一映射或称为置换采用了将自变元写在上面,自变元的象写在下面的表示方法,正象你的例子中的,如a=(1对2,2对3,3对1),这种书写方式不会出现上面那种不协调的情况,如果采用从右到左的顺序,反而很不习惯,因此有人更原意采用通常是从左到右的顺序,这就是你第1种书写方式,当然还有人用你第2种书写方式,因此顺序规定是与书中约定有关.
但是一旦约定了,就不能再随意选择了,上面两种方式是水火不容的,如果同一本书同时采用这两种方式,并且没有特别声明,这是严重的错误,置换是没有交换性的,计算的结果一般是不一样的.

实变函数就是实变量的函数,数学分析中微积分的那部分所讨论的函数都属于实变函数.所以要想学好实变函数,必须先学习数学分析.而近世代数（也叫抽象数学）是与密码学有关的一门学科,非常的难学!但我没发现其与实变函数有啥关系!
希望采纳