单调有界定理和证明过程（构造性证明）

证明：已知实数集A非空.存在a属于A,不妨设a不是A的上界,另外,知存在b是A的上界,记a1= a,b1=b ,用a1 ,b1 的中点(a1+b1)/2 二等分[a1 ,b1 ],如果(a1+b1)/2属于B ,则取a2 =a1 ,b2 =(a1+b1)/2 ；如果(a1+b1)/2属于A ,则取a2 =（a1+b1)/2 ,b2 =b1 ；……如此继续下去,便得两串数列 .其中{an}属于A 单调上升有上界（例如b1 ）,{bn} 单调下降有下界（例如a1 ）并且bn -an= (b1-a1)/2 (n-->无穷） .由单调有界定理,知存在 r,使liman = r (n-->无穷）.由 lim（bn-an ）=0 有 liman+（bn-an ）= r (n-->无穷）
因为{bn}是A的上界,所以对任意x属于A ,有x无穷 ,x无穷）bn = r 所以 r是A的上界.
而 任意c>0由lim(n-->无穷）an = r知任意c>0知存在N,当n>N 有r-c

证明:任取单调有界数列{an},不妨设an单调递增且n充分大时各项互异.
根据聚点定理,有界无限集合{an}存在聚点a0.
任取e>0,存在n0,使得|an0-a0|n0使得|an1-a0|>e,则
an1>a0+e或者an1n1,|an-a0|>e,则{an}只有有限项在a0的临域N(a0,e)中,这和a0是聚点矛盾.
所以假设不成立,即任取n>n0,|an-a0|

|x(n+1)/x(n)|＝|a^(n+1)/(n+1)!*n!/a^n|
＝|a|/(n+1)[|a|]+1时,即
|x(n)|从第[|a|]+1开始是递减的,且有下界0,因此有极限,
设lim |xn|＝c,则由
|x(n+1)|＝|x(n)|*|a|/(n+1)中令n趋于无穷取极限得
c=c*0,因此c＝0,于是
lim xn＝0.

x[n+1]=(kx[n]+a/x[n]^k)/(k+1)
=(xn+xn+..+xn+a/xn^k)/k+1>=(k+1)*a^1/(k+1)/k+1=a^1/(k+1)
xn+1-xn=(a/xn^k-xn)/(k+1)
因为xn+1>=a^1/(k+1)
所以
xn+1-xn=(a/xn^k-xn)/(k+1)

首先证明有上界,即对于任意的n,xn都小于等于某个常数C.
我们证明xn

　　首先
　　　　an = (1+1/2)(1+1/2^2)…(1+1/2^n)
单调递增是明显的；其次,由
　　1 < an = (1-1/2)(1+1/2)(1+1/2^2)…(1+1/2^n)/(1-1/2)
　= 2(1-1/2^2)(1+1/2^2)…(1+1/2^n)
　　= ……
　　= 2[1-1/2^(n+1)]
　　< 2,
得知{an}有界,据单调有界定理,{an}收敛.

这要根据单调性而定
如果单调递增,只需有上界
如果单调递减,只需有下界

这个命题是正确的.
实际上任意收敛数列都是有界的(上界下界都存在).
设lim{n → ∞} a[n] = b,由极限的定义,
对ε = 1 > 0,存在N,使得n > N时|a[n]-b| < ε = 1.
于是对n > N,有b-1 < a[n] < b+1.
然而n ≤ N只有有限项,可取x为其中最大数,取y为其中最小数.
则max{x,b+1}是数列的一个上界,
而min{y,b-1}是数列的一个下界.
即收敛数列都是有界数列.