若a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求数列an的通项公式

由a1a2a3=8知,a2=2,
所以a1+a3=5,a1a3=4
所以原式=（a1+a3）/a1a3+1/a2=7/4
现在应该学命题了吧,怎么还是提数列问题?

解题思路：根据所给的数列首项和前三项之和，整理出关于公比q的一元二次方程，解方程得到两个解，舍去负解，写出数列的通项．

∵等比数列{a_n}中a₁=1，a₁+a₂+a₃=7
∴a₂+a₃=6，
∴q+q²=6，
∴q²+q-6=0，
∴q=2，q=-3（舍去）
∴{a_n}的通项公式是a_n=2^n-1
故答案为：2^n-1

点评：
本题考点： 等比数列的通项公式．

考点点评： 本题考查等比数列的通项公式，是一个基础题，解题的关键是数列中基本量的运算，只要细心就能够得分的题目．

设a1、a2、a3、a4
∴a1a2a3=-8
(a2)^2=a1a3
(a2)^3=(-2)^3
a2=-2
a2a3a4=-80
a3a4=40
2a3=a2+a4
2a3=2+a4
a4=2a3-2
a3(2a3-2)=40
(a3)^2-a3-20=0
(a3-5)(a3+4)=0
a3=5或a3=-4
a4=2a3-2=2*5-2=8或a4=2a3-2=2*(-4)-2=-10
当a2=-2,a3=5时
(a2)^2=a1a3
4=a1*5
a=4/5
当a2=-2,a3=-4时
(a2)^2=a1a3
4=a1*(-4)
a1=-1
所以
a1=4/5
a2=-2
a3=5
a4=8
或
a1=-1
a2=-2
a3=4
a4=-10
2.
a1+a2+a3=7
3a2=7
a2=7/3
a1+a3=14/3
2*3a2=a3+4+a1+3,
6*7/3≠7/3+7
题目有问题
{an}等比数列 且a1+a2+a3=7 又 a1+3,3a2,a3+4 为等差数列求an
因为a1+3,3a2,a3+4成等差数列.
6a2=a1+a3+7
6a2=2a2+7
4a2=7,
a2=7/4
a1+a2+a3=7
a2/q +a2+a2q=7
a2(1/q+1+q)=7
7/4(1/q+1+q)=7
1/q+1+q=4
1/q-3+q=0
q^2-3q+1=0
q^2-3q+9/4-9/4+1=0
(q-3/2)^2-5/4=0
(q-3/2-√5/2)(q-3/2+√5/2)=0
q=(3+√5)/2或q=(3-√5)/2
当q=(3+√5)/2时
a2=a1q
7/4=a1(3+√5）/2
a1=(21-7√5)/8
an=(21-7√5)/8*(3/2+√5/2)^(n-1)
当q=(3-√5)/2时
a2=a1q
7/4=a1(3-√5）/2
a1=(21+7√5)/8
an=(21+7√5)/8*(3/2-√5/2)^(n-1)
令a=m-d,b=m,c=m+d
a+b+c=m-d+m+m+d=3m=15
m=5
设b为等比中项
b^2=ac
(m-d)(m+d)=m^2
m^2-d^2=m^2
d^2=0
d=0
所以
a=m-d=5-0=5
c=m+d=5+0=5
2
设a为等比中项
a^2=bc
(m-d)^2=(m+d)m
(5-d)^2=5(5+d)
d^2-10d+25=5d+25
d^2-15d=0
d(d-15)=0
d=0或d=15
当d=0时
a=m-d=5-0=5
c=m+d=5+0=5
当d=15时
a=m-d=5-15=-10
c=m+d=5+15=20
3
设c为等比中项
c^2=ab
(m+d)^2=(m*d)m
(5+d)^2=5(5-d)
d^2+10d+25=-5d+25
d^2+15d=0
d(d+15)=0
d=0或d=-15
当d=0时
a=m-d=5-0=5
c=m+d=5+0=5
当d=-15时
a=m-d=5-(-15)=20
c=m+d=5-15=-10
所以
1.当a为等比中项时,a=b=c=5或a=-10,b=5,c=20
2.当b为等比中项时,a=b=c=5
3.当c为等比中项时,a=b=c=5或a=20,b=5,c=-10

因为数列是等比的,所以a1a2a3=a2^3=8,所以a2=2
a1+a2+a3=a2/q+a2+a1q=7,求出q=2或1/2
所以,a1=1或者4,所以an=2^(n-1)或者4*（1/2）^(n-1)

设公比为Q
则有A2=A1*Q.A2=A1*Q^2
所以有 A1+A1*Q+A1*Q^2=7 ==>A1(1+Q+Q^2)=7 (1)
A1*A1*Q*A1*Q^2=8 ==> (A1*Q)^3=8 ==>A1*Q=2 ==>A1=2/Q (2)
(2)带入(1)
2/Q+2+2Q=7
2Q^2-5Q+2=0
(2Q-1)(Q-2)=0
Q1=1/2,Q2=2
当Q1=1/2时候,A1=4,所以 AN=A1*Q^(N-1)=4/2^(N-1) N>=1
当Q1=2时候,A1=1,所以AN=A1*Q^(N-1)=2^(N-1) N>=1

好像无实根啊,题错了?
a1+a2+a3=7, x09a2=7- a1- a3, x09a22=a12+a32+49+a1a3-7a1-7a3
a1xa3=a22 = a12+a32+49+a1a3-7a1-7a3, x09a12+a32-7a1-7a3+49=0 ------- ①
(a1+3)(a3+4)=(3a2)2= 9a22=9a1a3,x098a1a3-4a1=3a3+12,x09a1(8a3-4)=3a3+12,x09
a1=(3a3+12)/(8a3-4) ------ ②
a1+a3=x,x09a1a3=y=a22,x09a2=7-x, y=a22=x2-14x+49
a12+2a1a3+a32-7a1-7a3+49=2a1a3,x09(a1+a3)2-7(a1+a3)+49=2a1a3,x09x2-7x+49=2y
x2-7x+49=2(x2-14x+49)=2x2-28x+98,x09x2-21x+49=0,x09x=(21+-7√5)/2
x=(21-7√5)/2 = 2.674
y=[(21-7√5)/2]2-14*(21-7√5)/2+49
=(441-294√5+245)/4-147+49√5+49
=(147-49√5)/2 = 18.716
a1=x-a3=2.674-a3
y=a1a3=a3(2.674-a3)= 18.716
a32-2.674a3+18.716=0 (无实根)
x=(21+7√5)/2 = 18.326
y=[(21+7√5)/2]2-14*(21+7√5)/2+49
=(441+294√5+245)/4-147-49√5+49
=(147+49√5)/2 = 128.284
a1=x-a3=18.326-a3
y=a1a3=a3(18.326-a3)= 128.284
a32-18.326a3+128.284=0 (无实根)

因为a1a2a3=8
所以
a2/q*a2*a2*q=8
a2^3=8,
a2=2
又
a1+a2+a3=7
即
a2/q+a2+a2*q=7
1/q+q=5/2=2+1/2
所以
q=2或1/2
即
a1=1或4.
所以
an=2^(n-1) 或an=4*(1/2)^(n-1)

等比数列中,a1* a3= a2²,因为a1*a2*a3=8,所以a2=2,
等比数列中,a2*a8=a5²,因为a2*a8=10,a2=2,所以a8=5,
等比数列中,a4*a12=a8²,因为a8=5,所以a4*a12=25.

a4+a5+a6=a1q^3+a2q^3+a3q^3=(a1+a2+a3a)q^3=7*q^3=56 所以q^3=8即q=2

解题思路：利用等比数列的基本量a₁，q，根据条件求出a₁和q．最后根据等比数列的通项公式求得a_n．

设{a_n}的公比为q，由题意知

a1+a1q+a1q2＝7
a1•a1q•a1q2＝8
解得

a1＝1
q＝2或

a1＝4
q＝
1
2.
∴a_n=2^n-1或a_n=2^3-n．

点评：
本题考点： 等比数列的通项公式．

考点点评： 本题主要考查了等比数列的基本性质．转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法．

a1=1,a2=q,a3=q^2,则a1+a2+a3=1+q+q^2=7,即q^2+q-6=0,解得q=2或q=-3（舍去）,所以q=2,所以an=a1×q^(n-1)=2^(n-1)

等比数列
A2=A1q
A3=A1q^2
A1+A2+A3=7
所以
A1+A1q+A1q^2=7 A
A1A2A3=8
A1^3q^3=8
A1q=2 代入A得 B
A1+2+2q=7
A1=5-2q代入
(5-2q)q=2
-2q^2+5q=2
2q^2-5q+2=0
(2q-1)(q-2)=0
q=1/2 或 q=2
当q=1/2时
A1=4
An=A1q^(n-1)=4*(1/2)^(n-1)
=2^2*2^(1-n)
=2^(2+1-n)
=2^(3-n)
当q=2时 A1=1
An=A1q^(n-1)
=2^(n-1)

a1+a2+a3=7,a1a2a3+8?
如果是a1+a2+a3=7,a1a2a3=8的话：a1a2a3=8即a2ˆ3=8,得a2=2,由a1+a2+a3=7,得q=1/2或2

a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,
2^b1*2^b2*2^b3=8,
b1+b2+b3=3 （1）
2b1=b1+b3 （2）
2^b1+2^b2+2^b3=7 （3）
解方程
得
b1=0 b2=1 b3=2或b1=2 b2=1 b3=0
{an}为单调递减的数列
an=2^(bn)
bn也单调递减
b1=2 b2=1 b3=0
{bn}为等差数列
{bn}通项公式=3-n
an=2^(bn)
{an}通项公式=2^(3-n)

因为a1+a2+a3=7,a1a2a3=8
又因为等比数列{an},那么a2*a2=a1a3,那么
a1a2a3=a2a2a2=8,所以a2=2,
那么a1+a3=5,同时a1a3=4
所以a1=1,a3=4,那么q=2,
那么通项公式an=1*2^(n-1)=2^(n-1)
或a1=4,a3=1,那么q=1/2,
那么通项公式an=4*0.5^(n-1)=0.5^(n-3)

解题思路：根据所给的数列首项和前三项之和，整理出关于公比q的一元二次方程，解方程得到两个解，舍去负解，写出数列的通项．

∵等比数列{a_n}中a₁=1，a₁+a₂+a₃=7
∴a₂+a₃=6，
∴q+q²=6，
∴q²+q-6=0，
∴q=2，q=-3（舍去）
∴{a_n}的通项公式是a_n=2^n-1
故答案为：2^n-1

点评：
本题考点： 等比数列的通项公式．

考点点评： 本题考查等比数列的通项公式，是一个基础题，解题的关键是数列中基本量的运算，只要细心就能够得分的题目．

设公比为q则a1=a2/q,a3=a2q于是1/a1=(1/a2)q,1/a3=(1/a2)(1/q)于是a1+a2+a3=a2[1+(1/q)+q]而1/a1+1/a2+1/a3=(1/a2)[1+(1/q)+q]a1a2a3=a2³=8,得a2=8a1+a2+a3=a2[1+(1/q)+q]=2[1+(1/q)+q]=7于是1/a1+1/a2+1/a3=(1...

设公比是q各项均为正数 q>0
a1+a2+a3=7 a1=1
a1+qa1+q^2a1=7
1+q+q^2=7
q^2+q-6=0
q=-3 (舍去)或 q=2
an=a1q^(n-1)=2^(n-1)
am=2^(m-1) Sm=2^m-1
b1=a1,bm=am {bn}是等差数列{bn-(1/2)}也是等差数列
Tm=2(b1+bm)/m-m/2=2(1+2^(m-1))/m-m/2=2^m+2/m-m/2
Tm-Sm=2^m-1-(2^m+2/m-m/2)=m/2-2/m-1
当m=3时Tm-Sm=m/2-2/m-1=3/2-2/3-1=-1/6=2 2/m+1=2-3/2=1/2>0
Tm>Sm