巳知函数f(x)是周期函数,其周期为2,定义域是整个实数域,其在一个周期里的定义为

解题思路：（Ⅰ）根据极点的定义很容易求出a的值，由于只是导函数在一点的导数等于0，不能说明这一点是极点，所以求出a之后需验证它是否是极点．
（Ⅱ）由f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，便得到在该区间上f′（x）≥0，然后用x表示a，即得到a≤

x2

x+1

，只需求

x2

x+1

的范围即可．
（Ⅲ）求出F（x）=x²-2ax-2alnx+ln²x+2a²，通过观察F（x）的解析式的形式，能够想到解析式里可能存在完全平方式，所以试着构造完全平方式，结果能构造出完全平方式，并得到：F（x）=2(a−

x+lnx

2

)2+

(x−lnx)2

2

≥

(x−lnx)2

2

，所以只要x-lnx≥1即可，这点的说明，利用求导数，根据单调性判断即可．

（Ⅰ）f′(x)＝2x−2a−
2a
x＝
2x2−2ax−2a
x(x＞0)；
∵x=1是函数f（x）的极值点；
∴f′（1）=2-2a-2a=0，解得a＝
1
2；
经检验x=1为函数f（x）的极值点，所以a＝
1
2．
（II）∵f（x）在区间（2，+∞）上单调递增；
∴f′(x)＝
2x2−2ax−2a
x≥0在区间（2，+∞）上恒成立；
∴a≤
x2
x+1对区间（2，+∞）恒成立；
令M(x)＝
x2
x+1，则M′(x)＝
2x(x+1)−x2
(x+1)2＝
x2+2x
(x+1)2；
当x∈（2，+∞）时，M′（x）＞0，有M(x)＝
x2
x+1＞M(2)＝
4
3；
∴a的取值范围为(−∞，
4
3]．
（Ⅲ）F（x）=x²-2ax-2alnx+ln²x+2a²=2[a2−(x+lnx)a+
x2+ln2x
2]；
令P(a)＝a2−(x+lnx)a+
x2+ln2x
2；
则P(a)＝(a−
x+lnx
2)2−(
x+lnx
2)2+
x2+ln2x
2=(a−
x+lnx
2)2+
(x−lnx)2
4≥
(x−lnx)2
4；
令Q（x）=x-lnx，则Q′(x)＝1−
1
x＝

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 第一问中的a是比较容易求出的，然而需验证求的a符合题意，这需要理解极值的定义．第二问是根据函数导数符号与函数单调性的关系去求解的，而比较关键的是得到a≤x2x+1．第三问的关键是构造完全平方式，使一个完全平方式里含a，另一个不含a，因为a的值不确定，并且要证的不等式的右边不含a．