几何重数 代数重数 是什么?什么情况下两者相等

几何重数即特征值对应的齐次线性方程组的基础解系所含向量的个数
即 n - r(A-λE)

最简单的办法是利用相似矩阵的秩相等,注意到A是4阶的,而rank（A）=3,则与A相似的对角矩阵中的对角元素只能含一个0,剩下的全是-1才满足它的秩也为3.
若你从重数来考虑,由于A可对角化所以有几何重数等于代数重数,特征值为0的特征子空间的维数为dimK^4-rank（0E-A）=4-3=1,因此特征多项式的0根为单根.

特征值?
代数重数指 特征值是几重根
几何重数指 该特征值所对应特征向量所构成空间的维数
恒有 几何重数

直接根据R(A)=3判断

代数重数为1时,几何重数必为1
所以我们一般只判断重特征值的情况
书上有一个定理不知你知不知道
一个特征值的线性无关特征向量的个数≤该特征值的重数
即是说其几何重数≤代数重数
所以代数重数为1时,几何重数≤1
又因为每一个特征值必对应一个特征向量
所以几何重数≥1
综上,几何重数=1
至于刚说的定理我就不再这证明了,你去翻一下书,应该能找到.
不知,我这样说你能不能明白.不明白可以百度Hi我

首先Aa=入a,（其中A为特征向量,入为特征值）,则有（A-入E）a=0,把a看成是多元方程（A-入E）a=0的解,要a存在非零解,则必有（A-入E）的行列式为零,即det（A-入E）=0,这就是矩阵A的特征方程,特征方程的解就是特征根,由于方程会出现重根,所以对于一个“入”,其重根的次数叫做代数重数.解出入后,带入（A-入E）a=0按照高斯消元法的思路就可以求出矩阵A对于一个特征值“入”的特征向量,它可能是一个对于“入”的特征向量空间,而这个空间的维数就是他的几何重数（也就是解空间的维数）.以你的题目为例,其特征方程为det（A-入E）=（1-入）（1-入）（5-入）=0,那么1和5就是A的两个特征值,其中1的代数重数是2,5的代数重数是1,分别带入（A-入E）a=0,以1带入为例,线性方程的解空间为a=k1（0,-1,1）+k2（1,0,0）,其中k1,k2任取,那么解空间的维数是2,即对于特征值1来说几何重数就是2.值得注意的是在讨论这些问题是,特征值会有很多个,但是几何重数,代数重数等问题都是对于某一个特征值而言的.

代数重数指的是方程的根的重数
几何重数指的是几何图形在该点的重数
比如(x-1)^10=0,这个方程的根为x=1,这个根是10重的,因此x=1的代数重数为10
再如一条直线与一个圆相切,那么切点的几何重数就是二,如果三条直线相交在一点,那么交点的几何重数就是三
考虑某个特征值s’的特征子空间V',V'的维数就是s’的几何重数m,再取V'的一组基（由m个线性无关的向量组成）,扩充这组基为原n维空间V的一组基,线性变换在这组新基下的表示矩阵可以写成块上三角阵的形式,对应的特征多项式显然是包含因子（s-s')^m的,所以s'就是特征多项式的至少m重根,也就是“代数重数大于等于几何重数”.

代数重数指的是方程的根的重数
几何重数指的是几何图形在该点的重数
比如(x-1)^10=0,这个方程的根为x=1,这个根是10重的,因此x=1的代数重数为10
再如一条直线与一个圆相切,那么切点的几何重数就是二,如果三条直线相交在一点,那么交点的几何重数就是三

只有一阶矩阵才成立,n>1时复对称矩阵的特征值可以出现任何程度的亏损,因为任何复方阵都相似于复对称矩阵.

几何重数就是特征子空间的维数,由此即可证明它不超过代数重数
你先找本教材看看,不要看百度上的内容

如果代数重数是1,那么几何重数跟代数重数一定是相等的；
如果代数重数大于1,那么代数重数可能等于几何重数,也有可能大于几何重数.这个尝试着求属于特征值的特征向量才能知道；
对于代数重数是k>1的特征值,如果能够算出有k个线性无关的特征向量的话,那么代数重数就跟几何重数相等；
如果只能算出少于k个线性无关的特征向量的话,那么代数重数就大于几何重数.
你可以计算这个矩阵的特征值的代数重数和几何重数
1 1 0
0 2 1
0 0 1
算完就有感性的认识了,加油噢!

考虑某个特征值s’的特征子空间V',V'的维数就是s’的几何重数m,再取V'的一组基（由m个线性无关的向量组成）,扩充这组基为原n维空间V的一组基,线性变换在这组新基下的表示矩阵可以写成块上三角阵的形式,对应的特征多项式显然是包含因子（s-s')^m的,所以s'就是特征多项式的至少m重根,也就是“代数重数大于等于几何重数”.

由定理知代数重数大于等于几何重数,又以0为特征值的Jordan块为2阶（3-1）>1,所以几何重数小于代数重数.
代数重数为Jordan块地阶数,即2,几何重数为1

等于.
因为代数重数之和等于A的阶,即3
而A有3个线性无关的特征向量
所以几何重数等于代数重数

特征值对应的Jordan块全为一阶的时候几何重数与代数重数相等.Jordan块大于等于二阶时几何重数小于代数重数.
Jordan块的形式是上双三角阵,主对角元都是相同的特征值,次对角元都是1.
任何方阵都相似于由Jordan块为对角元的块对角阵,称为方阵的Jordan标准型.
具体请参看方阵的Jordan标准型
度熊不让发链接,自己去WIKI搜吧

因为矩阵任一特征值λ的几何重数≤λ的代数重数
∴所有特征值的几何重数之和≤所有特征值的代数重数之和
而所有所有特征值的代数重数之和=矩阵的阶数
∴所有特征值的几何重数之和=所有特征值的代数重数之和
等号取到的条件必然是对任一特征值λ,都有
λ的几何重数=λ的代数重数,而这是矩阵相似对角阵的充要条件
∴几何重数之和=矩阵阶数矩阵相似对角阵