求微分方程2y"+y'-y=2xe^x的通解

∵齐次方程2y"+y'-y=0的特征方程是2r²+r-1=0,则r1=-1,r2=1/2
∴齐次方程的通解是y=C1e^(-x)+C2e^(x/2) (C1,C2是积分常数)
∵设原方程的解是y=(Ax²+Bx)e^(-x)
代入原方程解得A=-1/3,B=-4/9
∴原方程的特解是y=-(x³/3+4x/9)e^(-x)
故原方程的通解是y=C1e^(-x)+C2e^(x/2)-(x³/3+4x/9)e^(-x) (C1,C2是积分常数).

解题思路：首先，将特征方程写出来，求出特征根；然后，根据特征根的情况和f（x）=2e^x来假设特解的形式，求出特解，再写出即可．

∵微分方程两边除以2，得同解的微分方程y″+
1
2y′−
1
2y＝ex
对应的齐次方程为y″+
1
2y′−
1
2y＝0
∴特征方程为r2+
1
2r−
1
2＝0，解得特征根为：r1＝−1，r2＝
1
2
∴齐次方程的通解为：y＝C1e−x+C2e−
1
2x
由于f（x）=e^x，而λ=1是不是特征方程的根
∴设特解为y^*=be^x
将其代入原方程，解得b=1
∴原微分方程的通解为
y＝C1e−x+C2e−
1
2x+ex

点评：
本题考点： 求解微分方程．

考点点评： 此题考查二阶常系数齐次线性微分方程的通解的求法以及非齐次特解的求法，前者通过特征方程就可以求出，后者要根据方程右端的f（x）形式和特征根对应的关系来给出特解形式．

解题思路：首先，将特征方程写出来，求出特征根；然后，根据特征根的情况和f（x）=2e^x来假设特解的形式，求出特解，再写出即可．

∵微分方程两边除以2，得同解的微分方程y″+
1
2y′−
1
2y＝ex
对应的齐次方程为y″+
1
2y′−
1
2y＝0
∴特征方程为r2+
1
2r−
1
2＝0，解得特征根为：r1＝−1，r2＝
1
2
∴齐次方程的通解为：y＝C1e−x+C2e−
1
2x
由于f（x）=e^x，而λ=1是不是特征方程的根
∴设特解为y^*=be^x
将其代入原方程，解得b=1
∴原微分方程的通解为
y＝C1e−x+C2e−
1
2x+ex

点评：
本题考点： 求解微分方程．

考点点评： 此题考查二阶常系数齐次线性微分方程的通解的求法以及非齐次特解的求法，前者通过特征方程就可以求出，后者要根据方程右端的f（x）形式和特征根对应的关系来给出特解形式．