已知矩阵M=2a21，其中a∈R，若点P（1，-2）在矩阵M的变换下得到点P（-4，0）．

解题思路：（Ⅰ）利用矩阵的乘法，可求实数a的值；
（Ⅱ）根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．

（Ⅰ）由

2a
21

1
−2=

−4
0，∴2-2a=-4，
∴a=3．---------（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知M=

23
21，则矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ+1）（λ-4），
令f（λ）=0，可求得特征值为λ₁=-1，λ₂=4，
设λ₁=-1对应的一个特征向量为α=

x
y，
则由λ₁α=Mα，得x+y=0，可令x=1，则y=-1，
∴矩阵M的一个特征值λ₁=-1对应的一个特征向量为

1
−1，
同理可得矩阵M的一个特征值λ₂=4对应的一个特征向量为

3
2．

点评：
本题考点： 特征值与特征向量的计算．

考点点评： 本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力．