△ABC和△A1B1C1关于直线L对称,若△ABC的周长为12厘米,△A1B1C1的面积为6平方厘米,则△A1B1C1的

设棱台的高h，上底面面积S₁，下底面面积S₂，所以三棱锥B-A₁B₁C₁的体积是：
1
3• h•S1＝2；A₁-ABC的体积是：
1
3•h•S2＝18，所以
1
3• h•
S1S2＝6．
棱台的体积为：
1
3• h•(S1+S2+
S1S2)=2+18+6=26
故答案为：26

点评：
本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题是基础题，考查棱台的体积，棱锥的体积，考查计算能力，转化思想，常考题型．

（1）如图所示；
（2）如图所示．

点评：
本题考点： 作图-旋转变换；作图-平移变换．

考点点评： 此题主要考查了图形的旋转与平移，图形的变换时变换对应顶点是解决问题的关键．

添加AC=A₁C₁；∠B=∠B₁；∠C=∠C₁后可分别根据SAS、ASA、AAS判定ABC≌△A₁B₁C₁，
故填AC=A₁C₁；∠B=∠B₁；∠C=∠C₁．

点评：
本题考点： 全等三角形的判定．

考点点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

（1）证明：CC₁∥BB₁，又BB₁⊥A₁E，
∴CC₁⊥A₁E，而CC₁⊥A₁F，∴CC₁⊥平面A₁EF，
∴平面A₁EF⊥平面B₁BCC₁
（2）作A₁H⊥EF于H，则A₁H⊥面B₁BCC₁，
∴A₁H为A₁到面B₁BCC₁的距离，在△A₁EF中，A₁E=A₁F=
2，EF=2，
∴△A₁EF为等腰Rt△且EF为斜边，
∴A₁H为斜边上中线，可得A₁H=[1/2]EF=1

点评：
本题考点： 平面与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．

考点点评： 本小题主要考查空间中的线面关系，考查面面垂直的判定及线面距离的计算，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力，考查转化思想，属于基础题．

（本小题满分12分）
（I）∵B₁D⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴B₁D⊥AC
又∵BC⊥AC，B₁D∩BC=D，∴AC⊥平面BB₁C₁C（3分）

（II）

AB1⊥BC1
AC⊥BC1
AB1与AC相交⇒

BC1⊥平面AB1C
B1C⊂平面AB1C⇒BC1⊥B1C
∴四边形BB₁C₁C为菱形，（5分）
又∵D为BC的中点，BD⊥平面ABC
∴∠B₁BC为侧棱和底面所成的角α，∴cos∠B1BC＝
1
2
∴∠B₁BC=60°，即侧棱与底面所成角60°．（8分）

（III）以C为原点，CA为x轴CB为y轴，过C点且垂直于平面ABC的直线为Z轴，建立空间直角坐标系，
则A（a，0，0），B（0，a，0），C1(0，−
a
3，
2
2
3a)，
平面ABC的法向量n₁=（0，0，1），设平面ABC₁的法向量为n₂=（x，y，z），
由

n2•

AB＝0
n2•

BC1＝0，即

−x+y＝0
−
4
3y+
2
2
3x＝0，n2＝(

2
2，

2
2，1)（10分）
cos＜n1，n2＞＝

2
2，＜n₁，n₂＞=45°，
∵二面角C-AB-C₁大小是锐二面角，
∴二面角C-AB-C₁的大小是45°（12分）

点评：
本题考点： 直线与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评： 本题考查直线与平面垂直的判定，线面角和二面角的求法，考查空间想象能力、逻辑思维能力，是中档题．

（1）证明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△BEP≌△C₁CP，E是BB₁的中点，
∴[CP/PE＝
2
1＝
CQ
BQ]，
∴PQ∥EB∥C₁C，
∵CC₁⊄平面A₁PQ，PQ⊂平面A₁PQ，
∴CC₁∥平面A₁PQ；
（2）由（1）知，PQ∥C₁C，
∴PQ∥AA₁，
∴BC⊥平面A₁PQA，
∴BC⊥AQ．
∵∠BAC=90°，CQ=2QB，
∴AC=2
2，AQ-
2
6
3．
延长QP与C₁B相交于点H，连接A₁H，A₁Q，则
∵CC₁⊥AQ，∴AQ⊥平面BCC₁B₁，
∵PQ∥AA₁，HQ∥AA₁，
∴四边形A₁AHQ是平行四边形，
∴A₁H∥AQ，
∴A₁H⊥平面BCC₁B₁，
∴直线A₁Q与平面BCC₁B₁所成角为∠A₁QH，
∴cos∠A₁QH=[QH
A1Q=
QH

AQ2+AA12=

15/5]．

点评：
本题考点： 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题考查线面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面平行的判定定理是关键．

（1）证明：取AB中点Q，∴CQ⊥AB
又∵AB⊥CP，∴AB⊥平面CPO∴AB⊥PQ，A₁A⊥AB
得A₁A∥PQ，点Q是AB的中点
∴P为A₁B的中点（4分）
（2）连接AB₁，取AC中点R，连接A₁R，
则BR⊥平面A₁C₁CA，∴BR⊥AC₁，由已知A₁B⊥AC₁，∴A₁R⊥AC₁，∴△AC₁C～△A₁RA∴
C1C
AC＝

1
2AC
A1A，∴AC＝
2A1A（6分）
则AA1＝
2，则AC=2
连B₁A，B₁R，BR，∵AC⊥平面B₁BR，∴平面B₁AC⊥平面B₁BR，
平面B₁AC∩平面B₁BR=B₁R，过B作BH⊥B₁R，垂足为H，
则BH⊥平面B₁PC，过B作BG⊥PC，
连接GH，那么∠BGH为二面角B₁-PC-B的平面角（8分）
在△B₁BR中，BH＝

30
5在△PBC中，BG＝

30

21（10分）∴sin∠BGH＝

21
5∴

点评：
本题考点： 直角三角形的射影定理；直线与平面垂直的性质；与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评： 本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及二面角的度量，考查空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力，属于常规题．

（1）证明：∵BC⊥CC₁，BC⊥AC，AC∩CC₁=C，∴BC⊥平面ACC₁A ₁，
C₁D⊂平面ACC₁A ₁，∴BC⊥C₁D，
A₁C₁=A₁D=AD=AC，∴∠A1DC1＝∠ADC＝
π
4，
∴∠C1DC＝
π
2，即C₁D⊥DC，
又BD∩CD=C，∴C₁D⊥平面BDC，
（2）三棱锥C-BC₁D即三棱锥C₁-BCD，由（1）知BC⊥CD，
CD=
2a，BC=a
∴△BCD的面积S＝
1
2×BC×CD＝

2
2a2，
由（1）知，C₁D是三棱锥C₁-BCD底面BDC上的高，
∴体积V＝
1
3Sh＝
1
3×S×C1D=
1
3×

2
2a2×
2a＝
1
3a3．

点评：
本题考点： 直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题考查了线面垂直的判定，考查了三棱锥的体积计算，利用三棱锥的换底性求体积是常用方法．

（Ⅰ）证明：连结A₁B，交AB₁与O，连结OD，
∵O，D均为中点，
∴A₁C∥OD，
∵A₁C⊄平面AB₁D，OD⊂平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．
（Ⅱ）∵A₁C∥OD，
∴∠ODB₁为异面直线A₁C与BD所成角，
令正三棱柱的棱长为1，则DB₁=[5/2]，OB₁=

2
2，OD=[1/2]AC=

2
2，
在△ODB₁中，cos∠ODB₁=
O
B21+D
B21−OD2
2OB1•DB1=

10
4，
∴异面直线A₁C与B₁D所成焦的余弦值为

10
4．
（Ⅲ）证明：∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=BB₁，
∴四边形BCC₁B₁是正方形，
∵M为CC₁的中点，D是BC的中点，
∴△B₁BD≌△BCM，
∴∠BB₁D=∠CBM，∠BDB₁=∠CMB，
∵∠BB₁D+∠BDB₁=[π/2]
∴∠CBM+∠BDB₁=[π/2]，
∴BM⊥B₁D，
∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵平面ABC⊥平面BB₁C₁C，平面ABC∩平面BB₁C₁C=BC，AD⊂平面ABC，
∴AD⊥平面BB₁C₁C，
∵BM⊂平面BB₁C₁C，
∴AD⊥BM，
∵AD∩B₁D，
∴BM⊥平面AB₁D，
∵AB₁⊂平面AB₁D，
∴MB⊥AB₁．

点评：
本题考点： 直线与平面平行的判定；异面直线及其所成的角．

考点点评： 本题主要考查了线面平行，线面垂直的性质和判定定理．立体几何在求二面角的时候，常转化为平面几何的问题易于解决．

∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=15，
三棱锥S-ABC的体积与三棱锥S-A₁B₁C₁的体积和为[1/3]V=5
∵三棱锥S-ABC的体积为3，
∴三棱锥S-A₁B₁C₁的体积2
故选C

点评：
本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题考查的知识点是棱柱的体积，棱锥的体积，其中分析出棱锥S-ABC的体积与三棱锥S-A1B1C1的体积和为[1/3]V（其中V为斜三棱柱ABC-A1B1C1的体积），是解答本题的关键．

根据斜二测画法作平面图形的直观图的原理，可得△ABC中有一个角为钝角，
故选：C．

点评：
本题考点： 平面图形的直观图．

考点点评： 本题给出三角形的直观图的形状，判断三角形原来的形状，着重考查了斜二测画法作平面图形的直观图和三角形形状的判断等知识，属于基础题．