在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，P是边AB上任意一点（不与点A、点B重合），过P点作PD⊥AC于点D，P

（1）证明：过D点作DM⊥AB，DN⊥CB，垂足分别为M、N，
∴∠AMD=∠CND=90°
∵D为△ABC的一个外角∠ABF的平分线上一点，
∴DM=DN．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠CBA=45°．
∵∠ADC=45°，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠AED=∠CEB，
∴∠1=∠2．
在△AMD和△CND中，


∠1=∠2
∠AMD=∠CND
DM=DN，
∴△ADM≌△CDN（AAS），
∴AD=CD；
（2）∵AD=CD，且∠ADC=45°，
∴∠ACD=∠DAC=67.5°，
∴∠1=22.5°．
∵∠AEC=∠1+∠ADC，
∴∠AEC=22.5°+45°=67.5°，
∴∠ACE=∠AEC，
∴AC=AE．
∵AC=4，
∴AE=4．
．答：AE=4．

点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

考点点评： 本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用及等腰三角形的性质的运用．解答时得出△ADM≌△CDN是关键．

（1）在旋转过程中，BH=CK，四边形CHOK的面积始终保持不变，其值为△ABC面积的一半．
理由如下：
连接OC
∵△ABC为等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，CO⊥AB
∴∠OCK=∠B=45°，CO=OB，又∵∠COK与∠BOH均为旋转角，
∴∠COK=∠BOH=α
∴△COK≌△BOH
∴BH=CK，S_{四边形CHOK}=S_△COK+S_△COH=S_△BOH+S_△COH=S_△COB=[1/2]S_△ABC=4．

（2）①由（1）知CK=BH=x，
∵BC=4，
∴CH=4-x，根据题意，得[1/2]CH•CK=[3/2]，即（4-x）x=3，
解这个方程得x₁=1，x₂=3，
此两根满足条件：0＜x＜4
所以当△CKH的面积为[3/2]时，x的取值是1或3；
②设△OKH的面积为S，由（1）知四边形CHOK的面积为4，于是得关系式：
S=4-S_△CKH=4-[1/2]x（4-x）=[1/2]（x²-4x）+4
=[1/2]（x-2）²+2
当x=2时，函数S有最小值2，
∵x=2时，满足条件0＜x＜4，
∴△OKH的面积存在最小值，此时x的值是2．

点评：
本题考点： 旋转的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了三角形全等的判定与性质，以及二次函数的性质，正确列出函数解析式是解题的关键．

（1）证明：过D点作DM⊥AB，DN⊥CB，垂足分别为M、N，
∴∠AMD=∠CND=90°
∵D为△ABC的一个外角∠ABF的平分线上一点，
∴DM=DN．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠CBA=45°．
∵∠ADC=45°，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠AED=∠CEB，
∴∠1=∠2．
在△AMD和△CND中，


∠1=∠2
∠AMD=∠CND
DM=DN，
∴△ADM≌△CDN（AAS），
∴AD=CD；
（2）∵AD=CD，且∠ADC=45°，
∴∠ACD=∠DAC=67.5°，
∴∠1=22.5°．
∵∠AEC=∠1+∠ADC，
∴∠AEC=22.5°+45°=67.5°，
∴∠ACE=∠AEC，
∴AC=AE．
∵AC=4，
∴AE=4．
．答：AE=4．

点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

考点点评： 本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用及等腰三角形的性质的运用．解答时得出△ADM≌△CDN是关键．

（1）一定相似的三角形：△AEM∽△BMG，△FEM∽△FMA，（2分）
以下证明△AEM∽△BMG
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°．（1分）
∵∠EMB=∠EMG+∠GMB=∠A+∠AEM，
∵∠EMG=45°，
∴∠AEM=∠BMG．（1分）
∴△AEM∽△BMG．（2分）
（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴AB=
AC2+BC2＝4
2．（1分）
∵M为AB的中点，
∴AM=BM=2
2．
∵△AME∽△BGM，
∴
AE
BM＝
AM
BG∴
3
2
2＝
2
2
BG．
∴BG＝
8
3．（2分）
∴CG＝4−
8
3＝
4
3，CE=4-3=1．（2分）
∴EG＝
CE2+CG2＝
5
3．（1分）

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理．

考点点评： 此题主要考查学生对相似三角形的判定及性质和勾股定理等知识点的掌握情况．

在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=4，由勾股定理得：AB=
42+42=4
2，
过P作PM⊥BC于M，
则∠PMB=90°，
∵△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=45°，
∴∠BPM=45°=∠ABC，
∴PM=BM，
∵PC=PQ，PM⊥BC，
∴CM=MQ，
分为两种情况：
①如图1，Q在线段BC上时，
∵CM=MQ，BC=4，BQ=2，
∴CM=4-BM，MQ=BM-2，
即4-BM=BM-2，
∴BM=3，
在Rt△BMP中，BM=PM=3，由勾股定理得：BP=
32+32=3
2，
∴AP=4
2-3
2=
2．
②如图2，Q在CB延长线时时，
∵CM=MQ，
∴4-BM=BM+2，
∴BM=1，
Rt△BMP中，BM=PM=1，由勾股定理得：BP=

点评：
本题考点： 等腰直角三角形．

考点点评： 本题考查了等腰直角三角形性质，等腰三角形性质，勾股定理的应用，关键是求出BP长，注意有两种情况．

（1）证明：过D点作DM⊥AB，DN⊥CB，垂足分别为M、N，
∴∠AMD=∠CND=90°
∵D为△ABC的一个外角∠ABF的平分线上一点，
∴DM=DN．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠CBA=45°．
∵∠ADC=45°，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠AED=∠CEB，
∴∠1=∠2．
在△AMD和△CND中，


∠1=∠2
∠AMD=∠CND
DM=DN，
∴△ADM≌△CDN（AAS），
∴AD=CD；

（2）∵AD=CD，且∠ADC=45°，
∴∠ACD=∠DAC=67.5°，
∴∠1=22.5°．
∵∠AEC=∠1+∠ADC，
∴∠AEC=22.5°+45°=67.5°，
∴∠ACE=∠AEC，
∴AC=AE．
∵AC=4，
∴AE=4．
．答：AE=4．

点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

考点点评： 本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用及等腰三角形的性质的运用．解答时得出△ADM≌△CDN是关键．

∵AC=BC=4，∠ACB=90°，
∴AB=4
2，
（1）r=[1/2]AB=2
2；
（2）r=BC=4；
（3）OA=[1/2]AB=2
2，
∵OA=
2OD，
∴r=2；
（4）∵AD=AC=4，
∴BD=AB-AD=4
2-4，
∴r=OD=BD=4
2-4．

点评：
本题考点： 作图—应用与设计作图．

考点点评： 解决本题的关键是找到不同的相应的圆心与半径．

（1）证明：过D点作DM⊥AB，DN⊥CB，垂足分别为M、N，
∴∠AMD=∠CND=90°
∵D为△ABC的一个外角∠ABF的平分线上一点，
∴DM=DN．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠CBA=45°．
∵∠ADC=45°，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠AED=∠CEB，
∴∠1=∠2．
在△AMD和△CND中，


∠1=∠2
∠AMD=∠CND
DM=DN，
∴△ADM≌△CDN（AAS），
∴AD=CD；
（2）∵AD=CD，且∠ADC=45°，
∴∠ACD=∠DAC=67.5°，
∴∠1=22.5°．
∵∠AEC=∠1+∠ADC，
∴∠AEC=22.5°+45°=67.5°，
∴∠ACE=∠AEC，
∴AC=AE．
∵AC=4，
∴AE=4．
．答：AE=4．

点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

考点点评： 本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用及等腰三角形的性质的运用．解答时得出△ADM≌△CDN是关键．

①当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形，故此选项正确；
②①连接CD；
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
∵在△ADE和△CDF中，


AE＝CF
∠A＝∠DCF
AD＝CD
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．故此选项正确；
③∵△ADE≌△CDF，
∴S_△ADE=S_△CDF．
∵S_{四边形CEDF}=S_△CED+S_△CFD，
∴S_{四边形CEDF}=S_△CED+S_△AED，
∴S_{四边形CEDF}=S_△ADC．
∵S_△ADC=[1/2]S_△ABC=4．
∴四边形CEDF的面积是定值4，故本选项正确；
④④△DEF是等腰直角三角形，
2DE=EF，
当EF∥AB时，∵AE=CF，
∴E，F分别是AC，BC的中点，故EF是△ABC的中位线，
∴EF取最小值=
22+22=2
2，
∵CE=CF=2，
∴此时点C到线段EF的最大距离为[1/2]EF=
2．故此选项正确．
故选D．

点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

考点点评： 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、直角三角形性质等知识，根据图形利用割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积是解题关键．

（1）证明：在△ABC中，EF是等腰直角△ABC的中位线，∴EF⊥AC（2分）
在四棱锥A'-BCEF中，EF⊥A'E，EF⊥EC，（4分）
又EC∩A‘E=E∴EF⊥平面A'EC，（5分）
又A'C⊂平面A'EC，∴EF⊥A'C（6分）
（2）在直角梯形EFBC中，EC=2，BC=4，
∴S△FBC＝
1
2BC•EC＝4
又∵A'O垂直平分EC，∴A′O＝
A′E2−EO2＝
3
∴V=[1/3]S△FBC•A′O=
1
3×4×
3=
4
3
3

点评：
本题考点： 直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

1年前

（1）证明：如图1，连接CO．
∵Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC=4，点O是AB中点，
∴CO⊥AB，∠BCO=∠A=45°，CO=AO=[1/2]AB．
在△AOP和△COQ中，


AP＝CQ
∠A＝∠QCO
AO＝CO，
∴△AOP≌△COQ（SAS），
∴OP=OQ，∠AOP=∠COQ，
∴∠POQ=∠COQ+∠COP=∠AOP+∠COP=∠AOC=90°，
∴△POQ是等腰直角三角形；

（2）∵AP=CQ=t，
∴CP=AB-AP=4-t，
∴S=[1/2]CQ×CP=[1/2]×t（4-t）=-[1/2]t²+2t=-[1/2]（t-2）²+2，
∴当t=2时，S取得最大值，最大值S=2；

（3）四边形PEQC是矩形．理由如下：
如图2，连接OD、OC．
∵∠PCQ=∠POQ=90°，点D是PQ中点，
∴CD=PD=DQ=[1/2]PQ，OD=PD=DQ=[1/2]PQ，
∴CD=OD，
∴∠DCO=∠DOC，
∵∠CEO+∠DCO=90°，∠DOE+∠DOC=90°，
∴∠CEO=∠DOE，
∴DE=DO，
∴DE=CD，
∵PD=DQ，
∴四边形PEQC是平行四边形，
又∠ACB=90°，
∴四边形PEQC是矩形；

（4）∵DO=DC，
∴点D在线段OC的垂直平分线上，
∴其运动路径为CO的垂直平分线与AC、BC交点之间的线段，即为为Rt△ABC斜边AB的中位线，
∴点D运动的路径长=[1/2]AB=2
2．

点评：
本题考点： 相似形综合题．

考点点评： 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定，点的运动轨迹等知识，综合性较强，有一定难度．