杨辉三角的规律，用字母表示

由题意，将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，可得第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，
由此可知全奇数的行出现在2ⁿ-1的行数，即第n次全行的数都为1的是第2ⁿ-1行．
∴第3次出现全行为1的是第7行，第7行有8个1，故a₃=8
故选D．

点评：
本题考点： 进行简单的合情推理．

考点点评： 本题是借助于杨辉三角求数列的通项公式，本题的关键点是熟悉杨辉三角以及常见数列的通项公式，属于基础题．

观察首尾两数都是1，3，5，7，可知第n行的首尾两数均为2n-1
设第n（n≥2）行的第2个数构成数列{a_n}，则有a₃-a₂=3，a₄-a₃=5，a₅-a₄=7，…，a_n-a_n-1=2n-3，
相加得a_n-a₂=3+5+…+（2n-3）=[3+2n−3/2]×（n-2）
=n（n-2）
a_n=3+n（n-2）=n²-2n+3．
故答案为：2n-1，n²-2n+3．

点评：
本题考点： 数列的应用．

考点点评： 本题主要考查了数列的应用，以及利用叠加法求数列的通项，同时考查了等差数列求和，属于中档题．

（1）根据题意知，（a+b）⁴的展开后，共有5项，
各项系数分别为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，
即：1、4、6、4、1；

（2）当a=b=1时，（a+b）ⁿ=2ⁿ．
故答案为：（1）5，1，4，6，4，1；（2）n+1，2ⁿ．

点评：
本题考点： 完全平方公式．

考点点评： 本题考查了完全平方公式，关键在于观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．

（a+b）⁰=1，它只有一项，系数为1；
（a+b）¹=a+b，它有两项，系数分别为1，1；
（a+b）²=a²+2ab+b²，它有三项，系数分别为1，2，1；
（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³，它有四项，系数分别为1，3，3，1；
所以（a+b）⁴展开的五项系数应该为：1，4，6，4，1．
故答案为：1，4，6，4，1．

点评：
本题考点： 完全平方公式；规律型：数字的变化类．

考点点评： 本题考查完全平方公式的推广，读懂题目信息，准确找出规律是解题的关键，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．

观察首尾两数都是1，3，5，7，可知第n行的首尾两数均为2n-1
设第n（n≥2）行的第2个数构成数列{a_n}，则有a₃-a₂=3，a₄-a₃=5，a₅-a₄=7，…，a_n-a_n-1=2n-3，
相加得a_n-a₂=3+5+…+（2n-3）=[3+2n−3/2]×（n-2）=n（n-2）
a_n=3+n（n-2）=n²-2n+3．
故答案为：n²-2n+3．

点评：
本题考点： 归纳推理．

考点点评： 本题主要考查了数列的应用，以及利用叠加法求数列的通项，同时考查了等差数列求和，属于中档题．

可以发现：（a+b）ⁿ的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a+b）^n-1的相邻两个系数的和，
∴（a+b）⁴的各项系数依次为1、4、6、4、1；
（a+b）⁵的各项系数依次为1、5、10、10、5、1；
∴（a+b）⁶的系数分别为1、6、15、20、15、6、1．
故本题答案为：20．

点评：
本题考点： 完全平方公式．

考点点评： 本题考查了完全平方公式，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．

当a=8时，c=9，d=9×4+1=37．

点评：
本题考点： 规律型：数字的变化类．

考点点评： 本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．此题要根据已知的数据发现各行的第一个数和第二个数的规律．

设第n个数为a_n，
则a₁=1
a₂-a₁=2
a₃-a₂=3
a₄-a₃=4
…
a_n-a_n-1=n
叠加可得，a_n-a₁=2+3+4+…+n
∴a_n=1+2+3+…+n=
n(n+1)
2=[1/2(n2+n)
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=
1
2(12+1+22+2+…+n2+n)
=
1
2[(12+22+…+n2)+(1+2+3+…+n)]
=
1
2×
1
6n(n+1)(2n+1)+
1
2×
n(n+1)
2]
=
n(1+n)(n+2)
6
∴
lim
n→∞
n3
Sn=
lim
n→∞
6n2
n2+3n+2=
lim
n→∞
6
1+
3
n+
2
n2=6
故答案为：6

点评：
本题考点： 数列的极限．

考点点评： 本题主要考查了归纳推理的应用，数列中叠加求解数列的通项公式，分组求和的求和方法及数列极限的求解，属于综合性试题．

从杨辉三角形的生成过程，可以得到你的这个数列的通项公式a（n）．
n为偶数时，a（n）=（n+4）/2，
n为奇数时，1=c₂⁰=C₂²，3=C₃¹=C₃²，6=C₄²，10=C₅³=C₅²，…
a（n）=C_（n+3）/2²=（n+3）（n+1）/8．
然后求前21项和，偶数项和为75，
奇数项和为[（2²+4²+6²+…+22²）+2（2+4+6…+22）]/8
=[（22×4×23）+11×24]/8=286，
最后S（21）=361
故选D．

点评：
本题考点： 数列的求和．

考点点评： 本题是规律的归纳题，解决本题的关键是读懂题意，理清题意归纳出a（n）的通项公式，本题考查等差数列的前n项和公式，偶数和的公式为
22+42+62+…+（2n）2=2n（n+1）（2n+1）/3

（1）（a+b）=a+b；
（2）（a+b）²=a²+2ab+b²；
（3）（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b；
（4）（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴；
（5）（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵．
故答案为：（4）a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴；（5）a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵．

点评：
本题考点： 规律型：数字的变化类．

考点点评： 本题考查了完全平方公式，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．