已知函数f(x)＝2ax+a2−1x2+1，其中a∈R．

解题思路：（Ⅰ）当a=1时，先对函数求导，然后求出 f'（0），即取消在原点处的切线斜率，可求得曲线y=f（x）在原点处的切线方程
（Ⅱ）先对函数求导，然后根据导数的符号可判断函数的单调区间
（III）由（Ⅱ）中函数的单调区间，可求出函数的最值取得的条件，然后可求a的范围

（Ⅰ）当a=1时，f(x)＝
2x
x2+1，f′(x)＝−2
(x+1)(x−1)
(x2+1)2．…（2分）
由 f'（0）=2，得曲线y=f（x）在原点处的切线方程是2x-y=0．…（3分）
（Ⅱ）对函数求导可得，f′(x)＝
−2(x+a)(ax−1)
(1+x2)2…（4分）
①当a=0时，f′(x)＝
2x
x2+1．
所以f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．…（5分）
当a≠0，f′(x)＝−2a
(x+a)(x−
1
a)
x2+1．
②当a＞0时，令f'（x）=0，得x₁=-a，x2＝
1
a，f（x）与f'（x）的情况如下：

x （-∞，x₁） x₁ （x₁，x₂） x₂ （x₂，+∞）
f'（x） - 0 + 0 -
f（x） ↘ f（x₁） ↗ f（x₂） ↘故f（x）的单调减区间是（-∞，-a），(
1
a，+∞)；单调增区间是(−a，
1
a)．…（7分）
③当a＜0时，f（x）与f'（x）的情况如下：

x （-∞，x₂） x₂ （x₂，x₁） x₁ （x₁，+∞）
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ f（x₂） ↘ f（x₁） ↗所以f（x）的单调增区间是(−∞，
1
a)；单调减区间是(−
1
a，−a)，（-a，+∞）．…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，a=0时不合题意．…（10分）
当a＞0时，由（Ⅱ）得，f（x）在(0，
1
a)单调递增，在(
1
a，+∞)单调递减，
所以f（x）在（0，+∞）上存在最大值f(
1
a)＝a2＞0．
设x₀为f（x）的零点，易知x0＝
1−a2
2a，且x0＜
1
a．从而x＞x₀时，f（x）＞0；x＜x₀时，f（x）＜0．
若f（x）在[0，+∞）上存在最小值，必有f（0）≤0，解得-1≤a≤1．
所以a＞0时，若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，a的取值范围是（0，1]．…（12分）
当a＜0时，由（Ⅱ）得，f（x）在（0，-a）单调递减，在（-a，+∞）单调递增，
所以f（x）在（0，+∞）上存在最小值f（-a）=-1．
若f（x）在[0，+∞）上存在最大值，必有f（0）≥0，解得a≥1，或a≤-1．
所以a＜0时，若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，a的取值范围是（-∞，-1]．
综上，a的取值范围是（-∞，-1]∪（0，1]． …（14分）

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题主要考查了函数的导数的几何意义的应用，导数在函数的单调区间及函数的最值求解中的应用，属于中档试题