f（x）=alnx/x+1+b/x的导数是?

f（x）=lnx x+1 +1 x
所以f(x)-lnx x-1 =1 1-x2 (2lnx-x2-1 x )
考虑函数h(x)=2lnx-x2-1 x (x＞0),
则h′(x)=2 x -2x2-(x2-1) x2 =-(x-1)2 x2
所以当x≠1时,h′（x）＜0而h（1）=0,
当x∈（0,1）时,h（x）＞0可得1 1-x2 h(x)＞0；
当x∈(1,+∞)时,h(x)＜0,可得1 1-x2 h(x)＞0
从而当x＞0且x≠1时,
f(x)-lnx x-1 ＞0即f(x)＞lnx x-1

(1)
切线方程变形为 y=(-1/2)x+3/2,
可见斜率k=-1/2, f(1)=1
f(x)=alnx/(x+1)+b/x,
f'(x)=[a(x+1)/x-alnx]/(x+1)^2-b/x^2
已知k=f'(1)=(2a)/4-b=-1/2 即a-2b=-1 (*)
f(1)=b=1
代入(*)得 a=1
∴f(x)=lnx/(x+1)+1/x
(2)
由（1）知f（x）=lnx／(x+1)+1／x
所以f(x)-lnx／(x-1)
= lnx／(x+1)+1／x-lnx／(x-1)
=-2 lnx／﹙x²-1﹚+1／x
=[1／(1-x²)]*[(2lnx-﹙x²-1﹚／x)]
令h(x)=2lnx-﹙x²-1﹚／x(x＞0),
h′(x)=2/x-[2x²－(x²-1)]／x²=-(x-1)²／x²
所以当x≠1时,h′（x）＜0,所以函数单调递减,而h（1）=0,
当x∈（0,1）时,h（x）＞h（1）=0
此时1／(1-x²)>0,
可得1／﹙1-x²﹚*h(x)＞0；
x∈(1,+∞)时,h(x)＜h（1）=0,
此时1／(1-x²)