直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为Q1，Q2，求直平行六面体的侧面积．

对角面的高相等设高为H
则对角面的对角线长分别为：
Q1
H，
Q2
H
六面体侧面边为长a为：（
Q1
2H）²+（
Q2
2H）²=a²（勾股定理）
a=

Q12+Q22
2H
所以侧面积为：4•H•

Q12+Q22
2H=2
Q12+Q22
故答案为：2
Q12+Q22

点评：
本题考点： 棱柱的结构特征．

考点点评： 本题是基础题，考查直平行六面体的侧面积的求法，计算能力，空间想象能力，常考题型．

A、体对角线相等的平行六面体是直平行六面体，故A正确；
B、有两个相邻侧面为矩形的棱柱满足侧棱都垂直于底面，故B正确；
C、有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体不满足侧棱都垂直于底面，故C不正确；
D、底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体，正确
故答案为 C

点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用；棱柱的结构特征．

考点点评： 本题考查棱柱的结构特征，是基础题．

如图可得，端点N在正方形ABCD内运动，（N与D不重合）连接N点与D点
由ND，DM，MN构成一个直角三角形，
设P为MN的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得
不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1．
N与D重合也满足题意，∠ADC=120°
故P点的轨迹是一个以D中心，半径为1的半球的[1/3]．
所以所求体积为：[1/3×
1
2×
4
3π=
2π
9]，
故选B．

点评：
本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 解决此类问题的关键是熟悉结合体的结构特征与球的定义以及其表面积的计算公式．考查空间想象能力，计算能力．

取AB的中点E连接DE，由题意知DE⊥AB，DE⊥CD
以DE所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD₁所在直线为z轴建立如图空间直角坐标系
设M（0，0，z），N（x，y，0），则P（[x/2，
y
2，
z
2]）
MN=
x2+y2+z2＝2
∴x²+y²+z²=4
∴
x2
4+
y2
4+
z2
4＝(
x
2)2+(
y
2)2+(
z
2)2＝1
∴OP²=1
即OP=1
∴点P的轨迹是以原点D为球心，以1为半径的球的一部分
又∵∠BAD=60°
∴∠ADC=120°
∴点P的轨迹是球的[1/6]
∴几何体的体积为V＝
1
6×
4
3π×13＝
2π
9
故答案为：[2π/9]

点评：
本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．

考点点评： 本题考查几何体的体积，须先用代数法确定点的轨迹，然后熟练应用体积公式即可．属中档题

如图可得，端点N在正方形ABCD内运动，（N与D不重合）连接N点与D点
由ND，DM，MN构成一个直角三角形，
设P为MN的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得
不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1．
N与D重合也满足题意，∠ADC=120°
故P点的轨迹是一个以D中心，半径为1的半球的[1/3]．
所以所求体积为：[1/3×
1
2×
4
3π=
2π
9]，
故选B．

点评：
本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 解决此类问题的关键是熟悉结合体的结构特征与球的定义以及其表面积的计算公式．考查空间想象能力，计算能力．

底面是平行四边形的四棱柱
它的六个面均为平行四边形，
故它是一个平行六面体
故命题甲正确，
底面是矩形的平行六面体
它的侧面不一定是矩形，
故它也不一定是长方体
故命题乙不正确，
直四棱柱
它的底面不一定是平行四边形
故直四棱柱不一定是直平行六面体
故命题丙不正确，
故真命题个数为1，
故选B

点评：
本题考点： 四种命题的真假关系；棱柱的结构特征．

考点点评： 平行六面体只的是六个面均为平行四边形的六面体，它一定是一个四棱柱，而长方体是所有面均为矩形的六面体．

在这六种图形中，包含元素最多的是棱柱，其次是直棱柱，
最小的是正方体，其次是正四棱柱，
在四个选项中，只有B符合这四个之间的关系，
其他的不用再分析，
故选B．

点评：
本题考点： 棱柱的结构特征；集合的包含关系判断及应用．

考点点评： 本题考查棱柱的结构特征，考查集合之间的包含关系的判断及应用，是一个比较全面的题目，考查的内容覆盖整个简单几何体．

|MN|=2，则|DP|=1，则点P轨迹是以点D为球心，半径r=1的球，
则球的体积为V＝
4
3π•r3＝
4π
3，
∵∠BAD＝60°∴∠ADC＝120°＝
1
3•360°，
只取半球的[1/3]，则V＝
4
3π•
1
3•
1
2＝
2π
9.；
故答案为[2π/9]．

点评：
本题考点： 组合几何体的面积、体积问题．

考点点评： 本题考查组合体的体积，考查计算能力，空间想象能力，是创新题型．