求幂级数∞n＝1n(n−1)!xn的收敛域与和函数S（x），并求数项级数∞n＝1n(n−1)!2n的和．

　　求幂级数 Σ[(x-1)^n]/(n*2^n) 的收敛域.
　　利用比值判别法,当
　　　lim(n→∞)|u[n+1](x)/u[n](x)|
　　= lim(n→∞)|{[(x-1)^(n+1)]/[(n+1)*2^(n+1)]}/{[(x-1)^n]/(n*2^n)}|
　　= lim(n→∞)(|x-1|/2)*[(n+1)/n]
　　= |x-1|/2 < 1
时,级数收敛,故级数的收敛半径是 2,收敛区间是 (-1,3),又易验在 x=-1 级数为 Σ[(-1)^n]/n,交错级数,是收敛的；在 x=3 级数为 Σ1/n,调和级数,是发散的,得知级数的收敛域为 [-1,3).

设和为s(x),则s'(x)=∞∑n=2 x^(n-2)=∞∑n=0 x^n=1/(1-x) ,积分得s(x)=-ln(1-x),收敛域为[-1,1).

收敛域是[-1,1]
f(x)=∑(((-1)^n)/2n+1)*x^(2n+1)
f'(x)=∑(((-1)^n)x^(2n)(等比数列-x^2为公比)=1/(1+x^2)
f(x)=1/(1+x^2)在(0,x)的积分=arctanx

令S=x+2x^2+...+nx^n
xS=x^2+2x^3+...+nx^(n+1)
若x≠1则
相减得
(1-x)S=x+x^2+...+x^n-nx^(n+1)
=[x^(n+1)-x]/(x-1)-nx^(n+1)
x属于（1,-1)
则S=-[x^(n+1)-x]/(1-x)^2-nx^(n+1)/(1-x)

解题思路：根据函数项级数收敛域（比值判别法）的求法计算；并利用逐项求导或逐项积分的方法结合已知函数的幂级数展开式来计算和函数．

记：un(x)＝
(−1)n−1x2n+1
n(2n−1)，
则：
lim
n→∞|
un+1(x)
un(x)|＝
lim
n→∞|

(−1)nx2n+3
(n+1)(2n+1)

(−1)n−1x2n+1
n(2n−1)|＝|x|2，
∴由比值判别法可得：
①当|x|²＜1，即|x|＜1时，所给幂级数收敛；
②当|x|＞1时，所给幂级数发散；
③当x=±1时，所给幂级数分别为
(−1)n−1
n(2n−1)和
(−1)n
n(2n−1)，
很容易判断这两个级数均收敛（绝对收敛），
故：所给幂级数的收敛域为[-1，1]．

由：s(x)＝
∞

n＝1
(−1)n−1x2n+1
n(2n−1)＝2x
∞

n＝1
(−1)n−1x2n
(2n−1)(2n)＝2xs1(x)，
其中：s1(x)＝
∞

n＝1
(−1)n−1x2n
(2n−1)(2n)，
由M判别法得级数s₁（x）是在（-1，1）内是一致收敛的，
从而，s₁（x）在（-1，1）内逐项可微，得：s1′(x)＝
∞

n＝1
(−1)n−1x2n−1
2n−1，
类似的：s1″(x)＝

点评：
本题考点： 幂函数在收敛区间内和函数的求法；幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域．

考点点评： 本题主要考查函数项级数的收敛域以及函数项级数的和函数，必须掌握的概念包括收敛域与和函数的定义，先计算级数的收敛半径，再分析断点处级数的敛散性，求函数收敛半径的方法最常用的就是比值判别法，此外还有根式判别法、定义法、拉贝判别法等，有时候也可以根据逐项可积或逐项可微不改变级数的收敛半径来求得；另外对于和函数的求解，除了定义方法之外，另外必须掌握的就是逐项积分或逐项微分．

　　因
　lim(n→inf.)|A(n+1)/A(n)|
　　　　= lim(n→inf.)(|X-4|/3)(2n+1)/(2n+3)
= |X-4|/3,
得知当 -3

解题思路：首先，通过公式R＝

lim

n→∞

|

an

an+1

|求出收敛半径；然后考虑x=±R处的敛散性，得到收敛域即可；最后，利用逐项求导求和函数．

由于R＝
lim
n→∞|
an
an+1|=
lim
n→∞
(n+1)3n+1
n3n＝3
而当x=3时，幂级数
∞

n＝1
1
3n发散；
当x=-3时，幂级数
∞

n＝1
(−1)n−1
n收敛
∴幂级数
∞

n＝1
xn−1
n3n的收敛域为[-3，3）
设S（x）=
∞

n＝1
xn−1
n3n，x∈（-3，3），则
xS(x)＝
∞

n＝1
xn
n3n
∴(xS(x))′＝
∞

n＝1
xn−1
3n=
1
3
∞

n＝1(
x
3)n−1＝
1
3•
1
1−
x
3=[1/3−x]，x∈（-3，3），
∴xS(x)＝
∫x0
1
3−xdx＝−ln(3−x)，x∈（-3，3）
∴S(x)＝−
1
xln(3−x)，x∈（-3，3）
又由和函数的连续性，知上式S（x）对x=-3也成立
∴S(x)＝−
1
xln(3−x)，x∈[-3，3）

点评：
本题考点： 幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域；幂函数在收敛区间内和函数的求法．

考点点评： 此题考查幂级数收敛域的求法，一般要将其收敛半径先求出来，如果不是标准的幂级数形式，还需要通过换元法将其转化为标准形式或者直接用幂级数的收敛的比值审敛法求解．

∑ (n-1)x^n=x^2*∑ (n-1)x^(n-2)=x^2*∑ nx^(n-1)
n=1→∞ n=1→∞ n=0→∞
=x^2*∑ d(x^n)/dx=x^2*d[∑ (x^n)]/dx=x^2*d {lim[1*(1-x^n)/(1-x)]}/dx
n=0→∞ n=0→∞ n=0→∞
显然当且仅当|x|