递归数列an+1=f(an)的单调性与函数f(x)的单调性有什么关系?

没有必然关系.
如递增函数f(x)=2x：
当a1=1时,数列递增
当a1=-1时,数列递减
再如f(x)=x²,a1=1
显然f(x)存在单调性,而an=1为常量,与f(x)的单调性无关.
事实上,函数f(an)的单调性与an的值相关,而数列an的单调性是与n相关

将an用x代替即得f(x)=x+1为增函数，而x=an，故这是个复合函数，所以an单增则原函数单增，an单减原函数单减。