y=ln sinx,则dy/dx=( )

表示没加括号不好懂啊～
是(2x^2+x)/(x^2-2x+1)?x趋于无穷时,极限为2.
同除以x^2即可：
(2+1/x)/(1-2/x+1/x^2).显然1/x,2/x,1/x^2都趋于0.
是ln(sinx)?
导数为f'=cotx.所求导数为sqrt(3).

因为,在区间[п/6,5п/6]上,恒有sinx > 0
所以, 在区间[п/6,5п/6]上 lnsinx 连续;
又,令u=sinx
而（п/6,5п/6）∈(0,+∞),根据lnu在定义区间上连续且可导,
所以,lnsinx在（п/6,5п/6）上连续且可导;
令a=п/6,b=5п/6
因为,sina=1/2,sinb=1/2
所以ln(sina) = ln(sinb);
设f(x)=ln(sinx)-ln(sin1/2)
易知,f(a)=f(b)=0,且f(x)这个初等函数在[п/6,5п/6]连续,在（п/6,5п/6）可导.( 这已经满足了洛尔定理的三个条件,可以至此得可以运用中值定理,非要证明可以如下)
设M=f(m),m∈（п/6,5п/6）,令M是f(x)在[п/6,5п/6]的最值.
则M可能的取值情况有：M=f(a)=f(b)=0,或者M>f(a)=f(b)=0,或者M 0 (x从左边趋于m)
(M-f(x))/(M-x) < 0 (x从右边趋于m)
然而,f(x)在m点可导,左右导数必定相等
故,在x=m处,f'(x) = 0.
同理,情况3可得在m点处,f'(x) = 0
对于情况1,易知在（п/6,5п/6）上的每一点都使得f'(x) = 0
综上所述,在（п/6,5п/6）存在一点x使得f(x)= f(a)=f(b)=0,跟洛尔中值定理结论相同.
所以,函数 y = ln sinx 在区间[п/6,5п/6]上使得洛尔定理成立.

y=lnu,其中u=sinx
DY/DX=(dy/du)*(du/DX)=(1/u)cosx=cosx/sinx

∫[π/6,5π/6]lnsinxdx
=∫[π/6,π/2]lnsinxdx+∫[π/2,5π/6]lnsinxdx
sinx=cos(π/2-x)
=∫[π/6,π/2)lncos(π/2-x)dx+∫[π/2,5π/6]lncos(π/2-x)dx
π/2-x=u x=π/2-u
= -∫[π/3,0]lncosudu -∫[0,-π/3]lncosudu
=∫[0,π/3]lncosudu-∫[0,-π/3]lncosudu
=∫[0,π/3]lncosudu+∫[-π/3,0]lncosudu
=∫[-π/3,π/3]lncosudu

lnx=1/x
这是公式,

积分;ln(sinx)/(sinx)^2dx
=积分:ln(sinx)d(-cotx)
=-cotxln(sinx)+积分:cotxd(ln(sinx))
=-cotxln(sinx)+积分:cosx^2/sinx^2dx
=-cotxln(sinx)+积分:(1-sinx^2)/sinx^2dx
=-cotxln(sinx)+积分:(secx^2-1)dx
=-cotxln(sinx)-cotx-x+C
(C为常数)

sin(ln x)-sin(ln sinx)=2sin[(lnx-ln sinx)/2]cos[(lnx+ln sinx)/2]
因为|cos[(lnx+ln sinx)/2]|