a1=1,an+1=2an/（an+2）(1)求{an}通项公式(2){1/an}为等差数列

由题意可得：数列{a_n}中a_n+1=2a_n，
所以
an+1
an＝2，
所以数列{a_n}是等比数列并且公比为2，首项为[1/2]．
由等比数列的前n项和的公式可得：S5＝
a1(1−q5)
1−q=[31/2]．
故选B．

点评：
本题考点： 等比数列的前n项和．

考点点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的定义与等比数列的前n项和的公式，并且结合正确的运算．

（1）a₂=2a₁=2，a₃=a₂+1=3，
∵a_2n+1=a_2n+1=2a_2n-1+1，
∴a_2n+1+1=2（a_2n-1+1），
∴数列{a_2n-1+1}为公比是2的等比数列；
（2）S_2n+1=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_2n-1+a_2n）+a_2n+1+a_2n+1
=3a₁+3a₃+…+3a_2n-1+a_2n+1
由（1）知，
∴a2n−1+1＝2n，
∴a2n−1＝2n−1
∴S2n+1＝3[(2−1)+(22−1)+…+(2n−1）]+a2n+1＝3(2
1−2n
1−2−n)+2n+1−1=2ⁿ⁺³-3n-7

点评：
本题考点： 数列的求和；等比关系的确定．

考点点评： 本题考查利用等差数列、等比数列的定义证明数列为等差数列、等比数列；考查数列求和的方法，属于一道中档题．

∵数列{a_n}中，a_n+1=2a_n，
∴
an+1
an=2，∴{a_n}是公比为2的等比数列，
∵a₃=8，∴a1•22＝8，解得a₁=2，
∴an＝2n，∴log₂a_n=n，
∴数列{log₂a_n}的前n项和：
S_n=1+2+3+…+n=
n(n+1)
2．
故答案为：
n(n+1)
2．

点评：
本题考点： 数列的求和．

考点点评： 本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的灵活运用．

∵数列{a_n}满足a_n+1=2a_n（n∈N₊）且a₂=1，
∴数列{a_n}是等比数列，公比q=2，
∴a_n=a2qn−2＝2n−2，
即a₂₀₁₄=2^2014-2=2²⁰¹²，
∴log₂a₂₀₁₄=log222012=2012，
故答案为：2012

点评：
本题考点： 等比数列的性质；等比数列的通项公式．

考点点评： 本题主要考查对数的基本运算，利用条件确定数列{an}是等比数列，求出{an}的通项公式是解决本题的关键．

（法一）：∵a_n+1=2a_n，a₁=1
∴
an+1
an＝2
∴数列{a_n}是以1为首项，以2为公比的等比数列
由等比数列的通项公式可得，a_n=2^n-1
∴a₅=2⁴=16
（法二）：∵a_n+1=2a_n=2²a_n-1=2³a_n-2=…=2ⁿa₁=2ⁿ
∴a_n=2^n-1
a₅=2⁴=16
故答案为：16

点评：
本题考点： 数列递推式．

考点点评： 本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项，解题的关键是由已知递推公式求解出数列的通项公式，要主要掌握解答本题中用的方法：等比数列的通项公式及迭代的方法

（1）证法一：由a_n+1=2a_n-n+1，
得a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），
又a₁=2，则a₁-1=1，
∴数列{a_n-n}是以a₁-1=1为首项，且公比为2的等比数列，…（3分）
则an−n＝1×2n−1，
∴an＝2n−1+n．…（4分）
证法二：
an+1−(n+1)
an−n＝
2an−n+1−(n+1)
an−n
=
2an−2n
an−n＝2，
又a₁=2，则a₁-1=1，
∴数列{a_n-n}是以a₁-1=1为首项，且公比为2的等比数列，…（3分）
则an−n＝1×2n−1，∴an＝2n−1+n．…（4分）
（2）∵bn＝
n
2an−2n，
∴bn＝
n
2an−2n＝
n
2n．…（5分）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=
1
2+2•(
1
2)2+…+n•(
1
2)n，…①
∴
1
2Sn＝(
1
2)2+2•(
1
2)3+…+（n-1）•(
1
2)n+n•(
1
2)n+1，…②
由①-②，得
1
2Sn＝
1
2+(
1
2)2+…+(
1
2)2−n•(
1
2)n+1
=

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比关系的确定；数列的求和．

考点点评： 本题考查等差数列的证明和数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法和不等式的比较．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．

依题意，a₁=2，当n为偶数时，a_n+1=2a_n-1；
从而a₁，a₃，a₅，a₇，a₉，a₁₁构成以2为首项，2为公比的等比数列，
故a₁₁=a₁×2⁵=64，
当n为奇数时，a_n+1=a_n+2，令n=11，得
a₁₂=a₁₁+2=66．
故选C．

点评：
本题考点： 等比关系的确定；等差关系的确定．

考点点评： 本题目主要考查了由数列的递推公式求解数列的项，解题的关键是根据n的奇偶性分别代入到不同的关系式中．本题容易出现由an+1=an+2得出{an}成等差数列的错误．

（I）∵a_n+1=2a_n（n∈N⁺），a₁=1，
∴数列{a_n}是公比为2的等比数列，
∴a_n=1×2^n-1；…3分
∵等差数列{b_n}的公差为3，b₂=a₃=2²=4，
∴b_n=b₂+（n-2）×3=3n-2…6分
（II）S_n=（a₁-b₁）+（a₂-b₂）+…+（a_n-b_n）
=（a₁+a₂+…+a_n）-（b₁+b₂+…+b_n）…8分
=
1×(1−2n)
1−2-
n(1+3n−2)
2…10分
=2ⁿ-[3/2]n²+[n/2]-1…12分

点评：
本题考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．

考点点评： 本题考查数列求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式与分组求和，考查转化思想，属于中档题．

a₁=1，a₂=2a₁=2，a₃=2a₂4，a₄=2a₃=8，a₅=2a₄=16，
∵a_n+1=2a_n，即
an+1
an=2
∴数列{a_n}为等比数列，首项为1，公比为2．
∴S8＝
28−1
2−1＝255，
∴故答案为：16，255．

点评：
本题考点： 等比数列的前n项和．

考点点评： 本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题．m属于基础知识、基本运算的考查．