f(x)=1/2mx^2-2x+1+ln(x+1) (m>=0) 若曲线C:y=f(x)在点P(0,1)处的切线l与C有

（1）f'(x)=2ax-2+1/(x+1),f(0)=1,f'(0)=-1,故l的斜率为-1，且l过点(0,1),易得l的解析式为y=-x+1,因为切线l与曲线y=f(x)有且只有一个公共点，所以-x+1=ax^2-2x+1+ln(x+1)只有1个解，化简得ax^2-x+ln(x+1)=0，设g(x)=ax^2-x+ln(x+1),则g(x)与x轴只有1个交点，显然x=0时，g(x)=0,当x趋...

解题思路：（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程即可；
（2）先写出g（x）的解析式，可知g（0）=0，显然x=0为y=g（x）的一个零点；再利用导数g′（x）=mx-1+[1/x+1]研究函数y=g（x）在（-1，+∞）上单调性，从而求出m的值；
（3）对于存在性问题，可先假设存在，即假设y=f（x）存在单调区间，再利用导数工具研究函数的单调区间，求出s-t的取值范围，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

（1）∵点P在函数y=f（x）上，由f（x）=12mx2-2x+1+ln（x+1）（m≥1）；得：f′（x）=mx-2+1x+1（m≥1）；∴y′|x=0=-1 故切线方程为：y=-x+1…（3分）（2）由g（x）=f（x）+x-1=12mx2-x+ln（x+1），可知：定义...

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性的处理策略，解题时，弄清题意，合理运用导数工具的处理策略是关键

点P（0,1）在函数f(x)=1/2mx∧2-2x+1+ln(x+1) 上,
设切线方程为 y=kx+1
使用导数比较简单、只需要求出改点的斜率
f‘（x）=mx-2+1/(x+1)
在x=0的切线斜率 k=f’（x）= -2+1=-1
带入方程后得到 y= -x+1
（2）g（x）=f（x）+x-1=0

解题思路：（Ⅰ）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程即可；
（Ⅱ）函数f（x）存在单凋减区间⇔f′（x）＜0有解，再由m≥1，x＞-1，利用二次函数的性质即可得到单调递减区间，
再利用一元二次方程的根与系数的关系及不等式的性质即可求出．

（Ⅰ）∵点P在函数y=f（x）上，由f（x）=12mx2-2x+1+ln（x+1）（m≥1）；得：f′（x）=mx-2+1x+1（m≥1）；∴y′|x=0=-1 故切线方程为：y=-x+1；（Ⅱ）由f（x）=12mx2-2x+1+ln（x+1）（m≥1）；f（x）=得：f′...

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数单调性的性质．

考点点评： 本题考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性的处理策略，解题时，弄清题意，合理运用导数工具的处理策略是关键．

（1）易知f（x）定义域（-1，+∞） f / (x)=mx-2+
1
x+1 ， f / (0)=-1 ，∴k ₂ =-1∴切线L：y=-x+1
∵切线L与C有且只有一个公共点，∴
1
2 m x 2 -x+ln(x+1)=0 有且只有一个实数解，显然x=0时成立．
令 g(x)=
1
2 m x 2 -x+ln(x+1) ，则 g / (x)=mx-1+
1
x+1 =
mx[x-(
1
m -1)]
x+1
①当m=1时，g′（x）≥0，函数在（-1，+∞）上单调增，x=0是方程唯一实数解；
②当m＞1时由g′（x）=0得 x 1 =0， x 2 =
1
m -1∈(-1，0 ），从而有x=x ₂ 是极大值点且g（x ₂ ）＞g（0）=0，又当x→-1时，g（x）→-∝因此g（x）=0在（-1，x ₂ ）内也有一解，矛盾
综上知，m=1．
（2）∵ f / (x)=
m x 2 +(m-2)x-1
x+1 (x＞-1) ∴f′（x）＜0⇔mx ² +（m-2）x-1＜0（x＞-1）
令h（x）=mx ² +（m-2）x-1＜0（x＞-1），∴h（x）=0在（-1，+∞）有两个不等实数解a，b，即h（x）=mx ² +（m-2）x-1＜0（x＞-1）得解集为（a，b），故存在单调减区间[a，b]，
则 t=b-a=
1+
4
m 2 ，
∵m≥1，∴ 1＜
1+
4
m 2 ≤
5 ，
∴ t∈(1，
5 ]

第一问结果为y=-x+1
第二问切线l与f（x）有且仅有一个公共点
等价于
函数g（x）=f（x）-（-x+1）=ax^2-x+ln(x+1),易得g（0）=0
g（x）的定义域为（-1,正无穷）
g′（x）=2ax-1+1/（x+1）=2ax（x+1-1/2a）/（x+1）
当1/2a-1＜0,g（x）在（-,1/2a-1）单调递增,在（1/2a-1,0）上单调递减,显然当x趋于-1,y趋向负无穷,g（1/2a-1）＞g（0）,所以（-1,1/2a-1）区间内有一根,加上已有0这个根,就超过一个根了,所以1/2a-1＜0不成立
当1/2a-1＞0,g（x）在（-1,0）单调递增,在（0,1/2a-1）单调递减,
有g（1/2a-1）＜g（0）=0,但是当x→正无穷是,g（x）＞0,所以g（x）在（1/2a-1,正无穷）上还有一根,所以1/2a-1＞0不成立.
当1/2a-1=0时,g（x）在（-1,正无穷）上单调递增,满足题意
所以a=1/2

（1）求导：f'(x)=2ax-2+1/(x+1),切线的斜率与导数相同.
f(0)=1,f'(0)=-2,
因此L过点（0,1）,斜率是-2,因此L的方程是y-1=-2(x-0),化简得y=-2x+1.
（2）两线相交时,交点坐标相同,因此-2x+1=ax平方-2x+1+ln(x+1),
化简得ax平方+ln(x+1)=0,要求只有x=0满足此式.
而a>0,因此ax平方>=0；ln(x+1)取值范围从负无穷到正无穷,当-1