同构的充要条件是两个线性空间的维数相同?为什么?

同构是一种数学思想.线代里面n维线性空间与n维欧式空间R^n同构,所以只要把欧式空间研究透彻了,有关性质定理可以照搬到其他线性空间去,而不需做任何证明.
在抽象代数里,同构将会有更为广泛的应用.

简单的理解同态是一般的线性映射,而同构需要是既是满射,又是单射.
如,偶数集和自然数集是同构的.而自然数集和有限自然数集的映射不是同态但可以是构造同构.

同构映射是保持线性运算的双射
所以有 σ(α+β) = σ(α)+σ(β)
σ(kα) = kσ(β)

Peterson Graph有很多种拓扑,自己试者画吧,很容易

要证明两个域之间的一个映射是域的同构,只需证明其保持加法,乘法,并且即单又满.
1) 对任意a,b ∈ F,易得:
φ(ab) = (ab)^p = a^p·b^p = φ(a)φ(b),
即φ:F → F保持乘法.
2) 对任意a,b ∈ F,可知:
φ(a+b) = (a+b)^p
= ∑{0 ≤ k ≤ p} C(p,k)·a^(p-k)·b^k (二项式定理,C(p,k)表示p中选k的组合数)
= a^p+b^p (由p是质数,对0 < k < p,有C(p,k) = p!/(k!(p-k)!)是p的倍数)
= φ(a)+φ(b),
即φ:F → F保持加法.
3) 由φ保持加法,证明φ是单射只需验证ker(φ) = {0}.
若φ(a) = 0,即a^p = 0,由F中没有零因子,易得a = 0,即有ker(φ) = {0}.
故φ:F → F是单射.
4) 由φ是单射,其像集im(φ)与F可建立一一对应,又im(φ) ⊆ F,且F是有限集,只有im(φ) = F.
故φ:F → F是满射.
综上,φ:F → F是域的同构,即为F的自同构.

在抽象的意义下,同构的群是相同的群,研究中总是利用同构,把未知的群化为已知的群来研究.而同态一般没有这个优势.
例子就是群{R,+}在e^x映射下同构于{R+,*},两个群可以看做相同的群.
而{R,+}的一个正规子群{Z,+}构成的商群{R,+}/{Z,+},和{R,+}在自然同态下是同态的,而不是同构的.所以两者性质不同.

同构一定是双射,反过来双射不一定是同构.
事实上同构是一种保持运算的双射.

不但同构,而且相等,都等于Q(i).
为证Q(2i)=Q(i),只需证明：
(1) 2i∈Q(i)：显然；
(2) i∈Q(2i)：因为i=(1/2)*2i.
为证Q((2+i)/(i-1))=Q(i),只需证明：
(1) (2+i)/(i-1)∈Q(i)：显然；
(2) i∈Q((2+i)/(i-1))：因为i=[(2+i)/(i-1)+2]/[(2+i)/(i-1)-1].

“同形同构”是个体审美形式结构的相似形的感受与识别.同形同构是以直觉体验为基础的,包括色彩、线条、构图、音韵、旋律、节奏等要素,用夸张、拟人、象征等手法构成的整体画面.

两个代数结构之间的同构首先要求它们之间存在一个1-1对应（双射）,并且这个双射保持相应代数结构上的运算.这个双射就称为同构映射.可见同构映射都是1-1对应,不同之处在于它们保持的代数运算互不相同.
群中只有一个运算,通常称为乘法,故群同构要求存在一个同构映射,它保持乘法.线性空间实际上包含两个要素：向量的集合V和数域F,运算有两个：向量的加法、数域中元素与向量的数量乘法.故线性空间的同构要求相应的同构映射保持向量加法和数量乘法.

要证u是M的一个自同构 只要证
A:u:M->M 是双射
B:u(a)u(b)=u(ab)
由于两个双射的复合和双射的逆都是双射 故A是显然的
题中详细证的是B
证明了δτ(ab)=δτ(a).δτ(b) 就可以说δτ是M的一个自同构
证明了δ^(-1)(ab)= δ^(-1)(a)δ^(-1)(b) 就可以说δ^(-1)是M的一个自同构
所以说“也是M的一个自同构”

一个民族文化的产生、演变和发展,除受特定的地理因素、经济因素和其他外来因素的制约外,社会政治结构对其影响也是至关重要的.
中国古代社会政治结构的特点是“家国同构”.这种由带有某种血缘温情的宗法制度和中国一脉相承的专制制度相结合的社会政治结构,深刻影响着中国传统文化.
所谓的血缘宗法制度,就是以血缘关系的远近亲疏来区分高低贵贱的法规准则.而血缘关系实际上也就是血统关系,它是以人类婚姻生育而自然形成的关系.宗族就是同一父系的人们群聚而居,他们有着共同的土地财产,有着共同的宗庙,祭祀着同一祖宗,甚至还有共同的墓地等的一个血缘群体.可以说：“宗”是中国文化祖先崇拜的代码；“族”是中国文化血亲的代码.它小则可指家庭、家族,大则可指种族、民族.而无论涵义的广狭,“族”应该都是对同一血缘的人的总称.
所谓“家国同构”,是指家庭、家族和国家在组织结构方面具有共同性,均以血亲——宗法关系来统领,存在着严格的父权家长制.家族是家庭的扩大,国家则是家族的扩大和延伸.在家国同构的格局下,家是小国,国是大家.在家庭、家族内,父家长地位至尊,权力至大；在国内,君王地位至尊,权力至大.父家长因其血统上的宗主地位,理所当然地统率其族众家人,而且这一宗主地位并不因其生命的中止而停辍,而是通过血脉遗传,代代相继.同样,君王自命“天子”,龙种高贵,君王驾崩,君统不辍,由其嫡长子自然承袭,如是者不绝.父家长在家庭内是一把手,君王是国家的一把手,是全国子民的严父.不仅国君如父,而且各级地方政权的首脑亦被视为百姓的“父母官”.简言之,父为“家君”,君为“国父”,君父同伦,家国同构,宗法制度因而渗透于社会整体,甚至掩盖了阶级和等级关系.
数千年中国社会结构之中,使国家结构也打上了家族结构的印记,家与国的组织系统与权力配置都是严格的父家长制.在中国,尽管奴隶制国家和封建制国家是按地缘原则建立起来的,不同于原始的氏族部落,但却始终未能摆脱氏族血亲宗法关系的纠缠.在一定意义上说,中国的奴隶社会是宗法奴隶制,是家族的政治化.这是中国与印度、欧洲的重大区别,这种区别大大影响了文化形态.
宗族和宗法关系在中国长期存在,导致了“家国同构”的格局,所谓“忠孝相通”,“求忠臣于孝子之门”.社会组织的“家国同构”以及由此而来的“忠孝同义”,都是宗法制度长期遗存的结果.

异质同构说.
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“意”与“象”之所以能相互联结,依据“格式塔”心理学派,就有“异质同构”或“同形说”的解释.而这种“异质同构”说用于解释意象的形成,是被公认比“移情”、“投射”说更为精确的.
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我个人仅从两种观点的根本出发点考虑了这个问题.
我认为“移情说”强调的是个人意识,而“异质同构说”则是考虑到了客观物质构成的共性.
正如我们知道的,意识是客观物质在人脑中的反应.意识的形式是主观的,意识的内容是客观的.意识来源于物质.所以,我认为“移情说”在某个角度上是放大了意识的主观面——其形式,而忽略甚至脱离了其客观来源的.这样,就会出现只要个人感情愿意,它可以倾注到任何一处,不论其是否存在客观共性.所以我认为“异质同构说”更客观理性地阐释了自然审美.
当然,以上仅为个人看法,仅供参考.若所言有误,请楼主赐教!
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回复 帮帮我4 ,通过我的回答应该很明显能感到我选择的是后者吧?

指的是存在一个映射f:E->E',为双射
且满足
任取a,b∈E
f(a+b)=f(a)+f(b)
f(ka)=kf(a) (k为常数)
(f(a),f(b))=(a,b)
则称f为同构映射,
若E=E'则成为E一个自同构
我下午又想了想这个问题.其实很简单
根据定义容易证明
n维欧氏空间上的同构就是正交变换,而正交变换都是旋转或镜像.所以是全等的.
不过不是所有的代数结构的同构都是全等的.

1.证明 设(X,#)和(Y,$)均是含有两个元素的群,不妨设X={e,x},Y={f,y},其中e,f分别是(X,#)和(Y,$)的幺元,再设映射F:X→Y,其中F(e)=f,F(x)=y,
由于(X,#)是群,x必有逆元,它的逆元只能是它本身x,同理y的逆元也只能是它本身y,于是x#x=e,y$y=f,于是
F(e#e)=F(e)=f=f$f=F(e)$F(e)
F(e#x)=F(x)=y=f$y=F(e)$F(x)
F(x#e)=F(x)=y=y$f=F(x)$F(e)
F(x#x)=F(e)=f=y$y=F(x)$F(x)
即对任意属于X的a,b,F(a#b)=F(a)$F(b),F又是一一的双射,故F是同构映射,即得(X,#)和(Y,$)同构,证毕.
2.证明 f: X->Y 是同构,故 f是双射,f^(-1)必存在并且是一一映射,对任意任意属于Y的a1,b1,必存在属于X的a,b,有f(a)=a1,f(b)=b1,f^-1(a1)=a,f^-1(b1)=b,由f是X到Y的同构映射,必有f(a#b)=f(a)$f(b)=a1$b1,故得
f^-1(a1$b1)=a#b=f^-1(a1)#f^-1(b1),于是f^(-1)是同构映射.证毕.

同态,意为在这种映射下,两种运算可以保持.
a->a'
b->b'
a*b=c->c'=a'*'b'
满射,象集的元素是用完了的.
而同构映射,要求这个映射首先是1-1(同时是满的且是单的,而同态质要求满而没有要求单射).然后(代数上)保持运算.
总结一下,就是在保持运算的前提下,
满射即为同态满射
1-1的即为同构映射(代数上)

1书上就有答案
2.t不完全如果t=（21435）
则对换为（1,3）（3,5）（5,2）

第1题：4
因为K5的5个顶点是对称的,所以同构与否只与新顶点的度数有关.新顶点最小2度,最大5度.所以有4种互不同构的.
第2题：9
在K3,3中,左边的3个顶点等价,右边的3个也等价.所以,同构与否只与左、右分别添加多少条边有关.又因为左右对称,所以只考虑左边添加的边数大于右边的情形.一共有9种可能：
（1）左边添加1条边,右边添加0条边；
（2）左边添加2条边,右边添加0条边；
（3）左边添加1条边,右边添加1条边；
（4）左边添加3条边,右边添加0条边；
（5）左边添加2条边,右边添加1条边；
（6）左边添加3条边,右边添加1条边；
（7）左边添加2条边,右边添加2条边；
（8）左边添加3条边,右边添加2条边；
（9）左边添加3条边,右边添加3条边；

不是自同构
因为E(x*y)=E(c)=b,任取x,y∈A
E(x)*E(y)=c,任取x,y∈A
可见E(x*y)≠E(x)*E(y)
所以E不是同态,自然也不是同构.

.是两个吧
查阶是否相同.查是否一个群有n个N阶元素,而另一个只有m个N阶元素.则不同构.通常查2阶的个数最显著.比如Klein有3个二阶,Z4只有两个2阶因此不同构
都ok基本就同构.试着定义个双射使f(x*y)=f(x)of(y),*和o分别是两个群的运算.

因为它们维数相同,根据实数域的性质,它们肯定是同构的.
或者证：
因为R和R+之间存在一一映射
所以R和R+同构.

参看数学分析和泛函分析.
同构即一一对应.
实数公理有4大部分,首先他得是一个域,这有9条公理诸如加法乘法交换结合律,0,1的定义等等..然后他得有序,接着得满足阿基米德公理,最后是完备性公理.
其实序同构我不大明白是什么意思.不过可以证明所有实数公理体系之间都是同构的,也就是说他们归根结底还是一个实数域R.
有的数学分析讲的全,讲实数理论,我想你们就是这种的.
看泛函分析的话,可以更明白序.
说实在的我还远不是达人,我也没有把两本书吃透呢.
不过我还是想到一个证法：
在A中取一个数a,他表示在A这种实数体系下定义的0,在B中数b为在B下定义的0与之对应.以下开始构造映射f:因为两种实数体系都是定义了“1”的,那么让a+1,与b+1对应,这里a+1的1是在A中定义的1,b+1的1是在B中定义的1.然后由a+1+1与b+1+1对应.由序公理可以知道这些数字的对应是一一对应的.-1亦然.这即证明了A中定义的整数与B中的整数一一对应.
然后类似地建立有理数的对应,因为有理数是可数的.
最后利用完备性公理,即类似柯西思想的那个公理,在有理数的邻域里建立无理数的一一对应.这样得到这个映射.证明了结论.
另外一个证法:书上有康托尔三分集跟实数域的同构,类似可证跟任意实数体系的同构,那么所有实数体系之间是同构的关系.

a和a^3.a2生成的是2阶子群,e生成的是1阶群.
Z4,整数除以4的余数.
{1,i,-1,-i},由(根号-1)生成的循环群.
{e,p,p2,p3},由正方形的旋转组成的4阶循环群.（即8阶二面体群的4阶循环子群.）
C8={e,b,b2,b3,b4,b4,b6,b7},则子群也是四阶循环群.
只要四阶能由一个元素就能生成所有群的就同构.

1 节点数为4,非同构树有两颗.
（1）当某个节点最大度数为3时,只有一种情况,如下图
0
|
0----0----0
（2）当某个节点度数最大为2时,如下图
0----0-----0-----0
2 节点数为3,非同构树有一颗,如下图
0-----0------0

线性变换与同构映射的区别和联系
相同点：都保持线性运算（保持加法、保持数乘）,即和的像等于像的和,数乘的像等于像的数乘.
区别：
（1）线性变换是一个空间到自身的映射,同构映射通常是一个空间到另一个空间的映射；
（2）线性变换未必是可逆的,同构映射首先是双射,故一定是可逆的.
（3）如果线性变换可逆,则该线性变换为双射,从而满足同构映射的三个条件：
(i)是双射,(ii)保持加法,（iii)保持数乘
故为同构映射,但它又是到空间自身的映射,故可逆的线性变换是自同构映射.

n+1类.
线性空间的同构也就是存在可逆变换连接两个空间.因为可逆变换是双射,而且还保持向量加法和数乘,所以可逆的线性变换是同构.
显然,如果把该变换限制在一个子空间上,那么可逆变换保持子空间的维数相等.
反过来,维数相等的子空间总是可以由一个可逆变换连接的.可以这样证明：设子空间V1的基是{a1,a2,...,ak}而子空间V2的基是{b1,b2,...,bk}.那么这两个空间的基分别可以拓展为整个n维空间的一组基{a1,a2,...,an},{b1,b2,...,bn}.从{a1,a2,...,an}到{b1,b2,...,bn}有着唯一的一个线性变换f,也就是n维空间的自同构.这个线性变换f限制在{a1,a2,...,ak}上,就映射到{b1,b2,...,bk}.因此该变换f|V1连接了V1和V2两个空间.
至此我们证明了维数相等的子空间都是同构了.因此维数相等的子空间就可以分为一类.n维线性空间有维数为0,1,2,...,n的子空间,共n+1种.

由Sylow定理知35阶G群有唯一的5阶子群A和7阶子群B,且A和B都是正规子群
取A中的5阶元a和B中的7阶元b,由A和B的正规性以及A∩B={e}得ab=ba,这样ab就是G的35阶元,即G必定是循环群

是、否、否、否、是、否、否、否、是、否、是、是、是、否、否、是、否、是、是、否、否、是、否
目前只知道这些,别的我想想

首先要明确,同构用于向量空间之间的关系,两个向量谈不上什么同构.
另外一定要讲清楚域,比如Q和R在各自的域上都是1维空间,但不同构.
应该把命题修正成
域K上的两个有限维向量空间同构的充要条件是它们有相同的维数.
不论是充分性还是必要性,都从空间的基来着手即可.

正确.因为与A可交换的矩阵为对角矩阵.
[-1,0;0,0],[0,0;1,0],[2,0,0,1]为所求的一组基.
这样可以么?

有p个解.因为Zp除去0元素是一个乘法循环群.刚才的解法要分p=2,3或p大于3的情形,现在看来这种分情况讨论是不必要的.
除了有解（0,0）之外,其它的解（x,y）都要求x,y非零.因为Zp除去0元素是一个乘法循环群,设t是这个乘法群的生成元,也就是p的原根,并设x=t^a和y=t^b,那么,y^2=x^3转化成关于a,b的同余方程3a≡2b(mod p-1).当然,这里用到了原根的存在性定理和费马小定理.
这同余方程有p-1组解(线性同余方程解的个数有一个公式).故共有p组解.
这个题不必用勒让德符号.它就是一个普通的同余问题.

http://www.***.com/html/dongmanjiaocheng/CG/20080307/12321_4.htm这个网站去看看或许对你有帮助。

inary operation：二元运算
isomorphism：同构
addition：加法
关于“二元运算g同构于加法”
最权威的wikipedia上是这么定义的：
The binary operation g is isomorphic under addition.

证明3阶群必是循环群：
设该群为G,则1∈G,令a∈G且a≠1,则由于ord(a) | ord(G)=3且ord(a)≠1,故ord(a)=3,因此G={1,a,a^2},G为循环群.
证明在同构意义下4阶群仅有两种：
设该群为G,因为ord(G)=4=2*2=4*1,所以任取a∈G且a≠1,必有ord(a)=2或4.
若ord(a)=4,则G=；若ord(a)=2,则存在b≠a且b≠1,使得b∈G,又由ab、ba∈G可推得ab=ba,因此G=(1,a,b,ab),即G=.在同构意义下4阶群就这两种：含有一个四阶元素或两个两阶元素.

不是同构的,同构的一个必要条件是两个群的元素的阶对应相同.
Z/6Z中含有6阶的元(5),而S3中没有6阶元(单位变换是1阶的,三个对换是2阶的,两个轮换是3阶的)
所以没有一个同态把5映射到6阶的元素.所以这两个群不同构.
其实6阶群在同构意义下只有这两种,一个是循环群,一个是S3.

任取f属于Hom(V,V*),在任取x,y属于V,那么B(x,y)=[f(x)](y)是一个双线性型
容易用定义验证这个f->B的映射是线性的
由于B=0时f只能是零,利用线性性知f->B的映射是单射
反过来,对于双线性型B(x,y),固定y之后B(x,y)是关于x的线性泛函,即存在g属于Hom(V,V*)使得B(x,y)=[g(x)](y)
也就是说f->B的映射是满射,从而是双射

白痴,自己查书,那么多题目还不给分!

定义映射：f：（Z,+) --->（Z,*).n |---> n - 5
f(n+m) = n+m - 5 = (n-5)*(m-5) = f(n)*f(m)
（Z,*)的单位元 是 - 5.
f(n) = -5 ===> n = 0.所以是单射
任给 n 属于 （Z,*),存在n+5 属于（Z,+),使得 f(n+5) = n,所以是满射
于是 f 是 （Z,+)和（Z,*)间的同构映射.即 （Z,+)和（Z,*)同构

任取数域P上任意两个n维线性空间V1,V2.
取V1上的一组基a1,a2,···,an；取V2上的一组基b1,b2,···,bn.
则任意向量a属于V1有a=k1a1 + k2a2 + ··· +knan；
构造映射f:V1--->V2,f(a) = k1b1 + k2b2 + ··· +knbn.那么就有f(ai) = bi (i = 1,2,···,n)
下证f是双射：
先证f是单射,
设存在b,b'属于V2,使得f(a) = b = s1b1 + s2b2 + ··· +snbn ,
f(a) = b' = t1b1 + t2b2 + ··· +tnbn ,
则由b = s1b1 + s2b2 + ··· +snbn = t1b1 + t2b2 + ··· +tnbn = b'
移项整理得(s1-t1)b1 + (s2-t2)b2 + ··· +(sn-tn)bn = 0,
由于b1,b2,···,bn是一组基,必有si=ti (i = 1,2,···,n)
从而b=b',
归结为一句话“任意向量a属于V1,V2中有且仅有一个向量b使得f(a) = b”
因此f是单射
再证f是满射,
取任意向量b属于V2并设b=s1b1 + s2b2 + ··· +snbn,
显然存在a属于V1,且a=s1a1 + s2a2 + ··· +snan,使得 b=f(a) = s1b1 + s2b2 + ··· +snbn,
归结为一句话“任意向量b属于V2,在V1中都存在一个向量a使得f(a) = b”
因此f是满射
由得,f是双射,下证f是同构映射,
任意T属于数域P,Ta=Tk1a1 + Tk2a2 + ··· +Tknan,
于是 f(Ta) = Tk1b1 + Tk2b2 + ··· +Tknbn = T(k1b1 + k2b2 + ··· +knbn) = Tf(a)
另外,任意向量a‘=s1a1 + s2a2 + ··· +snan 属于V1,
显然f(a+a’) = (k1+s1)b1 + (k2+s2)b2 + ··· +(kn+sn)bn
= (k1b1 + k2b2 + ··· +knbn) + (s1b1 + s2b2 + ··· +snbn)
= f(a) + f(a')
因此 f是同构映射.
综上可知,数域P上任意两个n维线性空间V1,V2之间都存在同构映射
再由线性空间同构的定义“若两线性空间之间存在同构映射,则这俩个线性空间同构”,
所以数域P上任意两个n维线性空间都同构!
证毕!

简单图：无环、无多重边的图.
同构图：两个同阶图（点数为图的阶）,若定点集合与边集合之间在保持关系性质条件下一一对应,则为同构.
公式不知道,但是思路个人认为是列举法.
一共5点3边,且为简单图故必有一点有两边（及此点次为2）：
一是有一点次为3,故每点有2种可能,共10.（但是若题意是将各点视为同样则为1种）.
二是有一点次为0切无次为3的点,则每点仅有1种可能,共5.（但是若题意是将各点视为同样则为1种）.
三是有一点此为2,其余全是1,则每点仅有1种可能,共5.（但是若题意是将各点视为同样则为1种）.
故答案为B

9=3^2
群论里有一个定理：阶数是p^2的群必是交换群,其中p是素数.所以我们只要考虑交换群的情况就可以.
根据交换群的结构定理,阶数为9的群有两个,一个是循环群Z_9,一个是初等交换群Z3xZ3,也就是两个三阶循环群的直积.
你的答案,9阶群在同够意义下有两个.

有限群的话,很简单：
设有限群为G={A0,A1,...,An}其中A0是0元素；
则对此群中的任意元素Ai,定义在此群上的置换
Fi：Aj-->Aj + Ai
现在我们验证下所有的这类置换G'={F0,F1,...,Fn}在置换复合运算( 即(Fi+Fj)(Ak)=Fj(Fi(Ak)) )下构成一个群：
运算封闭性：Fi + Fj属于G':设Ai + Aj = Ak属于G,容易验证Fi + Fj = Fk属于G';
零元素F0: Fi + F0 = Fi:这是显然的因为(Fi+F0)(Aj) = Aj + Ai + A0 = Aj + Ai = Fi(Aj);
交换率:Fi + Fj = Fj + Fi,实际上,如果Ai + Aj = Aj + Ai = Ak(这由原群G的交换率保证）,那么Fi + Fj = Fj + Fi = Fk
结合率：同样易验证(Fi + Fj) + Fk = Fi + (Fj + Fk),由原群G的结合率所保证.
综上,G’是一个（置换）群；
容易看出,G'与G是同构的,同构映射f: Ai --> Fi把0元素映射为0元素,
且f(Ai + Aj) = f(Ai) + f(Aj);
且f是双射：f(Ai) = f(Aj) ==> Fi = Fj ==> Fi(A0) = Fj(A0) ==> A0 + Ai = A0 + Aj ==> Ai = Aj,说明是单射；由定义（或者看G和G'都是n个元素,f又是单射）知是满射；

1. 我不确定X*4是什么运算, 如果是乘法, 由9元有限域GF(9)的特征是3, 有4 = 1, 解为X = 1.
如果是乘方, 我习惯写X^4. 要写出方程X^4 = 1的解, 需要给GF(9)中的元素一个表示方法.
可以用y²+1是GF(3)[y]中的不可约多项式, 将GF(9)等同于多项式环的商环GF(3)[y]/(y²+1).
GF(9) = {[0], [1], [2], [y], [y+1], [y+2], [2y], [2y+1], [2y+2]}, 这里用[ ]代表等价类.
由[y]²+[1] = [0], [y]和-[y] = [2y]是X²+[1] = [0]的两根.
于是[0] = X^4-[1] = (X²-[1])(X²+[1]) = (X-[1])(X+[1])(X-[y])(X+[y]).
得解为X = [1], [2], [y], [2y]. 不知道这是不是你想要的形式.
2. 这两个群是不同构的, 我想你要找的是同态吧.
既然能出这个问题, 应该知道对有限Abel群的以下结论吧(等号表示同构):
Hom(A⊕B,C) = Hom(A,C)⊕Hom(B,C), Hom(A,B⊕C) = Hom(A,B)⊕Hom(A,C).
另外若正整数m和n互素, 则有Hom(Z_m,Z_n) = 0. 用以上结论可以得到:
Hom(Z_3⊕Z_9⊕Z_27,Z_6⊕Z_2⊕Z_4) = Hom(Z_3,Z_6)⊕Hom(Z_9,Z_6)⊕Hom(Z_27,Z_6).
循环群的同态由生成元的像决定. 以Hom(Z_9,Z_6)为例, 1是Z_9中的生成元, 阶为9.
1的像必须是Z_6中阶数整除9的元素, 只能为0, 2, 4, 分别得到3个同态:
可以写为f(y) = 0, f(y) = 2y与f(y) = 4y.
对另两个分量同样讨论, 可将Hom(Z_3⊕Z_9⊕Z_27,Z_6⊕Z_2⊕Z_4)的元素表示为:
f(x,y,z) = (ax+by+cz,0,0), 其中a, b, c分别可取0, 2, 4, 共27个同态.
3. 已知结论: 素数方幂阶的群是可解的.
设G是一个72阶群. 由Sylow定理, G的Sylow 3-子群(即9阶子群)的个数为1或4.
若个数为1, 该9阶子群是正规子群, 对其商群是8阶群, 二者均可解, 故G也可解.
若个数为4, 考虑一个Sylow 3-子群的正规化子H, 这是一个18阶子群.
G在集合G/H上的作用给出了一个G到S_4的同态, 且像集阶数被4整除, 又|S_4| = 24.
可知G有一个3, 9或18阶的正规子群. 但由G有4个Sylow 3-子群, 9阶子群不正规.
又18阶子群中只有1个9阶子群, 18阶子群也不正规. 故G有1个3阶正规子群.
且G对其的商群同构于S_4, 只要证明S_4是可解的.
S_4有12阶正规子群A_4, A_4以Klein群为4阶正规子群, 故S_4可解, G可解.
例子的话不清楚"由非Abel非同态群构成"是什么意思.
先举两个不同构的非Abel群的例子. 一个是D_8⊕Z_9, 一个是S_4⊕Z_3.
二者的Sylow 3-子群个数不同, 故不同构.
4. 存在. G = GL(2,R)为2阶可逆实矩阵构成的群. 取其子群H由形如
1 n
0 1
而矩阵组成, 其中n是整数.
取a =
2 0
0 1
则左陪集aH中的矩阵形如
2 2n
0 1
右陪集Ha中的矩阵形如
2 n
0 1
aH是Ha的真子集.
不太清楚你的知识基础, 逐条详细解释太过啰嗦.
如果有疑问请具体指出, 方便我有针对性的回答.

我认为群基本定理很好地回答了这个问题（参考〈〈近世代数〉〉杨子胥,高等教育出版社.2000年5月第一版,p88-p89.
我认为,在任意两个N阶群之间总是可以找到一个映射使之同态,在些同态下,
任意的N阶群G1同构于商群G/K其中K是G中含核的正规子群.而正规子群的个数就完全决定了同构群的个数.对于有个元素的群的而言,它的个数是有个的（最多的就是有限交换群.）（这里的N>1,单位群是无限个也是同构的）

两个图同构,实际上就是一个图,只是标号不同或画法不同而已.

V={1,（12）(34),(13)(24),(14)(23)}
是S4的正规子群