求2^x的泰勒公式展开.如题.

首先要搞清楚(1+x)^α和cosx的泰勒展开式 (1+x)^α=1+αx+α(α-取前2项,即得cosx=1-(1/2)x^2+o(x^3) 第一个等号到第二个等号

f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/(2!)+……+f在0处的n阶导数乘以x的n次方除以n的阶乘加余项.
规律是上边是N阶导数乘以x的N次方在除以N的阶乘（看出来来了吗?都是N）皮亚诺余项不用说了一般就o（x的n次方）.拉格朗日型余项的是：在thetax处的N+1阶导数乘以x的N+1次方在除以N+1的阶乘,也就是前边的规律就换一个theta x.太难写了.多观察书上的规律,你会发现迈克劳林公式很好记.

首先要搞清楚(1+x)^α和cosx的泰勒展开式 (1+x)^α=1+αx+α(α-*x^(2n)+o[x^(2n)] 取前2项,即得cosx=1-(1/2)x^2+o(x^3)

正好分子中导数值和分母的阶乘约了啊.
lz写出前几项归纳下看看.

泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a,b）有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间,该余项称为拉格朗日型的余项.
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数,不是f(n)与x.的相乘.）
证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx）,其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0,所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：
P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n
来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式.设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An.显然,P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!.至此,多项的各项系数都已求出,得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n.
接下来就要求误差的具体表达式了.设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0.所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0.根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!,这里ξ在x.和x之间.但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数,故P(n+1)(x)=0,于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x).综上可得,余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1).一般来说展开函数时都是为了计算的需要,故x往往要取一个定值,此时也可把Rn(x)写为Rn.

|xn-x0|单调减.在根x0附近,有f(x)=f'(x0)(x-x0)+O((x-x0)^2),f(xn)/f'(xn)=O(xn-x0)

用三阶泰勒公式 sin18°的近似值 并估计误差
18°=18π/180=0.314159265
sin18°≈0.314159265-0.314159265³/6=0.314159265-0.005167712=0.308991552
误差R

我给你发

泰勒级数是一些无穷项相加,也可以看作是一个数列,它是无穷接近f(x)的,而泰勒公式是一个公式,加上后面那个余项后就完全等于f(x).

解答并没有是相加的关系,而是将两式相乘后x^3的高阶无穷小用o（x^3）表示了.

f(x,y) = f(a,b) + df(a,b)/dx[x - a] + df(a,b)/dy[y - b] + d^2f(a,b)/dx^2[x-a]^2/2 + d^2f(a,b)/dy^2[y-b]^2/2 + d^2f(a,b)/[dxdy][x-a][y-b] + h.
其中,h为余项.
当f(x,y)2阶导数连续,x->a,y->b时,h是[(x-a)(y-b)]的高阶无穷小量.

在数学中,泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.如果比如说,指数函数ex 在x = 0 的附近可以用以下多项式来近似地表示：其中

这个问题很容易解决,你不要懒,把tanx的展开式设为a+bx+cx2+dx3+ex4+fx5+gx6,相应把sinx和cosx也展开相应的到x的五次方,然后用tanx的展开式乘以cosx的展开式,和sinx的展开式比对系数,即可把所有的未知数求出来,你会发现四次方和五次方六次方的系数都是0,结论即可证明完毕.

你是不是求√x^3-5x-2的近似值?另外这个题对x的取值应该有限制的,你看看原题是否还有其他条件

均可.因为无穷的所以还是可以逼近的.

1.阶数指出现的最高次次数,就是指n.
2.是的.
3.是的.

从逻辑上说,先有微分（导数）的定义,由此发展出了Taylor公式.Taylor公式中含有x0点处的各阶导数值,所以需要先有导数的定义.
另一方面,Taylor公式可以说是一元微分学的顶峰,其中蕴含丰富的信息.由Taylor公式也可以更好地理解导数.
与此相关的还有幂级数的逐项微分问题,但这个可能不是LZ想讨论的.

用泰勒公式代入就行啊 f(x)=f(x0)+f'(X0)(X-XO)+.+fn(xo)(x-xo)n/n!分子上的n ,第一个是f(x)的n阶导,第二个是n次方.

证明：将f(x)在 1/2 处展开得
证明：证明：f(1)=f(x0)+f’(x0)(1-x0)+(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2 ξ1∈(x0,1)
f(0)=f(x0) +f’(x0) (-x0)+ (f’’(ξ2)/2!)( x0)^2 ξ2∈(0,x0)
由f(0)=f(1)可得
f’(x)= (f’’(ξ2)/2!)( x0)2 -(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)2
由于x0∈（0,1）时,x02+ (1-x0)2

泰勒公式认真看也不是很难理解,其实他就是拉格朗日公式的拓展!它可将复杂的函数转化成很简单的多项式!最后还给出了误差的计算方式,当然这个误差也只是个范围!不过已经很不错了!他的推到过程其实也就是反复利用拉格朗日公式,反复的收缩 一不惜龙 的范围,从而达到精确!.查看原帖

泰勒公式每一项中都有一个f（x0）的高阶导数,该导数的系数正好与下面的阶乘约成1,所以答案中没有除以阶乘.

一个函数N阶可导,则这个函数就可以用泰勒公式N阶展开
即f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+f’’(x0)(x-x0)/2!+...+f＾(n)(x0)(x-x0)＾(n)/n!+0X
f＾(n)(x0)表示f(x)在x0处的N阶导数.0X表示比(x-x0)＾(n)更高阶的无穷小
用拉格朗日型余项表示则0X=f＾(n+1)(ζ)(x-ζ)＾(n+1)/n+1!
而麦克劳林公式是泰勒公式在0点展开的特例
泰勒公式可以很容易的让你得到f(x)展开式中关于x的幂次项的系数,也可由已知的函数的导数值推出原函数.多用于求极限问题
比如求lim (e＾x-x-1)/x在x趋近于0时的极限
f(x)=e＾x在x=0处二次展开=e＾(0)+e＾(0)*(x-0)+e＾(0)(x-0)/2!+0x
=1+x+x/2;
那么lim (e＾x-x-1)/x=lim (1+x+x/2-x-1)/x=1/2答案补充 用导数定义去理解
f’(x)=lim [f(x)-f(x0)]/(x-x0)其中x->x0
那么就有当x->x0时lim f(x)-f(x0)=f’(x)(x-x0)
lim f(x)其于f(x)的误差拉格朗日型余项为f＾(2)(ζ)(x-ζ)＾(2)/2!是(x-x0)的高阶无穷小,一般用于证明题

令arcsinx=t,则x=sint
lim(arcsinx/x)（x→0）
=lim(t/sint)（t→0）
=1
所以arcsinx~x （x→0）

答：
用二倍角公式：
cos2a=1-2sin²a
1-cos2a=2sin²a
所以：
1-cosx=2sin²(x/2)~2×(x/2)²~x²/2
所以：
1-cosx的等价无穷小为x²/2

ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3+,+(-1)^(n-1)*x^n/n+(-1)^n*x^(n+1)/[(n+1)(1+θx)^(n+1) (0

ξ是非定值,不相等的,ξ的取值只是在一个区间内

请参考同济大学出版的高等数学第六版上册141页 记得采纳我的答案哦，祝你学习进步

一元函数的泰勒公式是利用柯西中值定理证明得出的,而二元函数的泰勒公式则是利用一元函数的泰勒公式并构造函数得证的.
建议看书

不令n＝2m的话,指数的奇偶性很难准确表示.

高数书142页有个ln(1+x)的展开式.代入一下就可以算了

用泰勒公式变形的麦克劳林公式,套进去解嘛

根据题目来看,有时等价就可以解决,有时需要用泰勒到高阶

根据公式e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+o(x^n)
可得（x^3-x^2+x/2)e^(x^-1)=x^3+1/6+1/12x+x^3o(x^-3)-x^2o(x^-3)+x/2o(x^-3)(展开至第四项）
故lim (原式）=lim [x^3+1/6-sqrt(1+x^6)+1/12x+x^3o(x^-3)-x^2o(x^-3)+x/2o(x^-3)]=lim[x^3+1/6-sqrt(1+x^6)]=lim (x^6+1/3*x^3+1/36-x^6-1)/[x^3+1/6+sqrt(1+x^6)]（分子有理化）
=lim [1/3-35/(36x^3)]/[1+1/(6x^3)+sqrt(1+1/x^3)]（上下同除以x^3）=(1/3)/2=1/6
(x趋于无穷大）

f(x)的n+1阶导数是有界并趋于无穷小则级数收敛,才可以展开为泰勒级数.

根据泰勒公式可得sinx=x-x^3/6+o(x^3),带入原题为e^(x-x^3/6+o(x^3)),会了么?sinx=x-x^3/6+o(x^3)是泰勒公式的推导,同样还有tanx,arcsinx,arctanx的推导,把这4个推导公式横向纵向加减能得到很多推导公式,对做题很有帮助

#include
#define PI 3.1415926
double sin(double x)
{
double s;
if(x>2*PI)
x-=2*PI*(int)(x/PI/2);
if(x*2>PI)
if(x

利用泰勒公式求下列极限：
(1) lim(x->+∞)((x^3+3x^2)^(1/3)—(x^4-2x^3)^(1/4))
(2) lim(x->0)[cosx-e^(-x^2/2)]/[x^2(x+ln(1-x)]
(3) lim[(x->0)[1+x^2/2-(1+x^2)^(1/2)]/{[(cosx-e^(x^2))]sinx^2}
望采纳

∫㏑sinx／sin²xdx
=∫㏑sinx·csc²xdx
=∫㏑sinxd-cotx
=-cotx·㏑sinx+∫cotxd㏑sinx
=-cotx·㏑sinx+∫cos²x/sin²xdx
=-cotx·㏑sinx+∫﹙1-sin²x/sin²x﹚dx
=-cotx·㏑sinx+∫1/sin²xdx-x
=-cotx·㏑sinx-x-cotx+c
∫arcsin√x/√xdx
令√x=t,
∫arcsint/tdt²
=∫arcsint·2dt
=2t·arcsint-2∫tdarcsint
=2t·arcsint-2∫t/√﹙1-t²﹚dt
=2t·arcsint-∫2t/√﹙1-t²﹚dt
可以看出d√﹙1-t²﹚=2t/√﹙1-t²﹚·dt
=2t·arcsint-√﹙1-t²﹚+c
t=√x带入
=2√x·arcsin√x-√﹙1-x﹚+c

因为他真的是个天才 我问了大学数学老师 老师都答不上来怎么想到的

泰勒公式可以作为一种近似方法求平方根,而且颇为有效.一般程序如下：
首先要把平方根化为√1+x 的形式,并且使得x非常小,最好趋于0,当然是越小其近似值越精确!
第二步要根据泰勒公式求出√1+x 在0点的展开式,如果是求一般的近似值,展开到二阶导数即可,当然阶数越高,结算结果越精确!这个可以酌情处理.
第三步,根据求出的√1+x 展开式,代入x的值,即可求出平方根的近似值.
比如求√23 的近似值：
√23 =√25-2=5√1-（2/25）,2/25其值较小近于0基本满足泰勒公式的使用条件,当然如果这个值近于1的话,结果就很不精确了.
根据泰勒公式在0点展开式：√1-x ≈1-（1/2)x-(1/4)x^2 此处展开到二阶,代入x=2/25 :
√1-(2/25) ≈0.9584
√23=5√1-(2/25)≈0.9584X5=4.792
经过验证：4.792^2=22.963,这种方法是非常精确地.

因为这个展开是要跟前面的(1/x^2)-a^2）相乘的.往后展开的x都是三次方和三次方以上的,乘(1/x^2)-a^2）得到的都是分子是x或者x的高次幂的项数,这些在x->0时的极限都是0.所以没有必要继续展开了.

∑[1/n-ln((n+1)/n)]=∑[1/n-ln(1+1/n)]
注意到ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)=x-x^2/2+O(x^2)
所以ln(1+1/n)=1/n-1/(2n^2)+O(1/n^2)
∑[1/n-ln(1+1/n)]=∑[1/(2n^2)+O(1/n^2)]这两部分显然都绝对收敛 所以原级数收敛

其实是有可能的,因为泰勒展式是以在x0处附近的点为考量,所以当x越靠近x0其展式的值越接近真值.
所以在x0附近的领域内,Rn(x)是绝对可以保证极限为零,而且随n增大,该领域的长度也会增大.
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其实Rn(x)是(x-x0)^n的高阶无穷小``光这一点就够了`

当n较大时,第n项可以近似看成0,但不能看成1

　　这个函数不能用求导的方法求麦克劳林公式,只能用 e^x 的麦克劳林公式来求解.事实上,由
　　　e^x = Σ(0≤k≤n)[(x^k)/k!]+o(x^n),
可得
　　　e^[(-x^2)/2] = Σ(0≤k≤n){[(-x^2)/2]^k}/k!]+o([(-x^2)/2]^n)
　　　　　　　　= …….

直接套公式即可
泰勒公式为f(x)=f(x0)+f ` (x0)(x-xo)+……+(f(n)(xo) 【n阶导】/n!) *(x-xo)^n +Rn(x)
1/x的n阶导为（-1）^n *n!X^-(n+1)
得到f(x)=1/x的n阶泰勒公式为f(x)=-1-（x+1）-(x+1)^2-……（x+1）^n +Rn(x)