F(x)=(a+1)lnx+ax2+1的单调性,在定义域内

解题思路：（1）先求出函数的定义域，然后对函数f（x）进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增、导函数小于0时原函数单调递减对a分3种情况进行讨论．
（2）先根据a的范围对函数f（x）的单调性进行判断，然后根据单调性去绝对值，将问题转化为证明函数g（x）=f（x）+4x的单调性问题．

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=
a+1
x+2ax=
2ax2+a+1
x．
当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；
当a≤-1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；
当-1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=
-
a+1
2a．当x∈（0，
-
a+1
2a）时，f′（x）＞0；
x∈（
-
a+1
2a，+∞）时，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，
-
a+1
2a）单调增加，在（
-
a+1
2a，+∞）单调减少．
（Ⅱ）不妨假设x₁≤x₂．由于a≤-2，故f（x）在（0，+∞）单调递减．
所以|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|等价于f（x₁）-f（x₂）≥4x₂-4x₁，
即f（x₂）+4x₂≤f（x₁）+4x₁．
令g（x）=f（x）+4x，则g′(x)=
a+1
x+2ax+4=
2ax2+4x+a+1
x．
于是g′（x）≤
-4x2+4x-1
x=
-(2x-1)2
x≤0．
从而g（x）在（0，+∞）单调减少，故g（x₁）≥g（x₂），
即f（x₁）+4x₁≥f（x₂）+4x₂，故对任意x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．

函数定义域:x∈(0,+∞),
求导:f'(x)=(a+1)/x+2ax=(2ax^2+a+1)/x,可见f ' (x) 则正负取决于 a与a+1,因此 以0,-1为分界点,对a进行讨论.1）当a=0,f'(x)=1/x>0,故f(x)在全域单增,
2）当a>0,f'(x)>0,故f(x)在全域单增,
3）当-1

首先明确定义域为﹙0.﹢∞﹚求导有f′(x)＝﹙a+1﹚／x﹢2ax＝﹙2ax??﹢2ax﹢a﹢1﹚／x.下面讨论。1.a＝0的时候有f′(x)＝1／x＞0恒成立所以f﹙x﹚在定义域上是递增的。。。2.a＝﹣1的时候有f′﹙x﹚＝﹣2x＜0恒成立所以f﹙x﹚在定义域上递减。3.a﹥0的时候又由于Δ＝-4a﹙2+a﹚＜0恒成立。所以其导数恒大于0即f﹙x﹚在定义域上递增。4....a＜0的时候、Δ＝...