A秩为r的n阶实对称矩阵证A是半正定矩阵充要条件是存在r行n列的秩为r的实矩阵B,使A=B'B

asfeilong2122022-10-04 11:39:541条回答

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vavavavava 共回答了24个问题 | 采纳率87.5%
我们一步一步来.
首先对于实数域上的列向量X,有X'X ≥ 0,且等号成立当且仅当X = 0.
由这一点我们可以证明,对实矩阵B,有B'B的秩R(B'B) = B的秩R(B).
方法是考虑两个线性方程组BX = 0与B'BX = 0,证明二者其实是同解的,于是系数矩阵的秩相等.
一方面BX = 0,自然有B'BX = B'(BX) = 0,另一方面B'BX = 0,有(BX)'BX = X'B'BX = 0,也有BX = 0.
有了上面两个结论,我们可以证明原题的充分性.
A是半正定的,因为对任意X,有X'AX = X'B'BX = (BX)'BX ≥ 0.A的秩为r,因为R(A) = R(B'B) = R(B).
必要性,A是秩为r的半正定矩阵,因此存在可逆矩阵P,使标准型C合同变换为A.
即有A = P'CP,而C为对角线上为r个1和n-r个0的对角阵.
我们取D为r×n的矩阵,具有分块形式(E 0),则R(D) = r,且D'D = C,于是A = P'D'DP = (DP)'DP.
取r×n矩阵B = DP,有A = B'B,且由P可逆,R(B) = R(D) = r.B满足条件.
1年前

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