狄利克雷函数周期性证明

在[0,1]上勒贝格可积
在很多时候,只是为了来说明某些问题的.
这个函数挺特殊,作为很多事情的反例,这个函数在任意一点都不存在极限且是以任意有理数为周期的周期函数（有理数相加得有理数,无理数加有理数还是无理数）,同时这个函数在积分上也有应用,该函数黎曼不可积,而在其它一些积分中是可积的.

周期函数规定周期只能为正,常用它的最小正周期考虑问题

D(x)=1,当x为有理数；
D(x)＝0,当x为无理数.
显然0

1:周期函数意思是f(x)=f(x+T),T=3时,当x为有理数,则x+T也为有理数；同理x为无理数是,x+T为无理数,存在f(x)=f(x+T),另外可以证明其周期为任意有理数
2：当x=0时,f(x)=1=cos0成立
3：解集都是有理数集,正确

你要知道：
有理数 + 有理数 = 有理数
无理数 + 有理数 = 无理数
而
无理数 + 无理数 不一定等于 无理数 （比如 3+pi 和 3-pi 两个无理数相加等于 6 为有理数）
所以
由周期定义,对任意 x 都有 f(x+T) = f(x).狄利克雷函数用 D(x) 表示：
当 T 为任意有理数时,
1.当 x 为有理数时,x+T 还是有理数,所以有 D(x+T) = D(x) = 1
2.当 x 为无理数时,x+T 还是无理数,所以有 D(x+T) = D(x) = 0
所以任意有理数是 D(x) 的周期,所以 D(x) 也不存在最小正周期.
而当 T 为任意无理数时：
1.当 x 为有理数时,x+T 是无理数,所以有 D(x+T) = 0 而 D(x) = 1
2.当 x 为无理数时,x+T 不确定,所以有 D(x+T) = 0 或 1 而 D(x) = 0
所以任意无理数不是 D(x) 的周期.

(1)对于任意正数a,只要|x-0|=|x|

狄利克雷函数是广义的函数.(Dirac delta function也 是广义的函数.)
狄利克雷函数:
D(x)=lim(n→∞){lim(m→∞)[cosπm!x]^n}
也可以简单地表示分段函数的形式D(x) = 0 (x是无理数) 或1 (x是有理数)
分析性质
1、处处不连续
2、处处不可导
3、在任何区间内黎曼不可积
4、函数是可测函数
5、在单位区间 [0,1] 上勒贝格可积,且勒贝格积分值为 0（且任意区间以及R上甚至任何R的可测子集上（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ）
对性质5的说明：虽然m(R/Q)=+∞,但在R/Q上有f(x)=0,符合可积条件（说明中Q为有理数集）.
谷歌搜索 wolfram Dirichlet Function, 有修改狄利克雷函数图像.

对,就是不可积!
狄利克雷函数：http://baike.baidu.com/view/753572.htm
如果是黎曼可积,当且仅当岂不连续点是一个零测度集.
如果是勒贝格积分,当且仅当函数在[a,b]上可测.
http://zhidao.baidu.com/question/175495035.html

F(x) = 0 (x是无理数) 或1 (x是有理数)
基本性质
1、定义域为整个实数域 R
2、值域为 {0,1}
3、函数为偶函数
4、无法画出函数图像
5、以任意正有理数为其周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）
分析性质
1、处处不连续
2、处处不可导
3、在任何区间内黎曼不可积
4、函数是可测函数
5、在单位区间 [0,1] 上勒贝格可积,且勒贝格积分值为 0（且任意区间（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ）
函数周期
狄利克雷函数是周期函数,但是却没有最小正周期,它的周期是任意有理数,而非无理数.

假设连续,那么对于任意e>0,总存在t>0,使得对于任意x ∈U(x0,t),都有|f(x) - f(x0)| < e.
若x0是有理点,那么U(x0,t)中总存在无理点,因此找不到这样的t.
无理点类似.故该函数处处不连续

{ a a(不为0) x=有理数
f(x)=
{ 0 x=无理数
只要不是连续或者有限连续的函数.就可以了.

D(x)=1,x是有理数；D(x)=0,x是无理数.因此对任意的有理数a,有D(x+a)=D(x),即有理数都是周期.

利用有理数的稠密性,直接按照连续的定义或者Heine定理就可以验证.
你的错误在于“已知x0属于Q,如果它不连续,必有lim(x->x0)不属于Q”,这个是错的.

f(x)=1 x是有理数
0 x是无理数
是个分段函数

因为函数不是连续函数,所以
导数不存在.

狄利克雷函数（英语：dirichlet function）是一个定义在实数范围上、值域为的不连续函数.
当
自变量为有理数时,；
自变量为无理数时,.
狄利克雷函数的图像关于轴成轴对称,是一个偶函数；它处处不连续；处处极限不存在；不可积分.这是一个处处不连续的可测函数
√2代表 根号2
证明过程我写得很啰嗦,尤其是前面三个命题,可能有些人会认为太显而易见了,但为了严谨我还是写出来了,高人可以略过其证明过程
前提：1、任何有理数均可写成既约分数 p/q (p,q∈Z 且q≠0)
2、任何无理数据不可写成这样的形式,且均可写成无限不循环小数
3、任何实数必定属于有理数或无理数中的一类,且不能同时属于两类数
命题1：任何有理数与无理数相加结果都是无理数
证明：假设命题不成立
设 p/q (p,q∈Z 且q≠0)为任意有理数
X为任意无理数
则 p/q+X=m/n (m,n∈Z 且n≠0)
X=m/n-p/q=(mq-np)/(n*q)
则根据前提1,X为有理数,与假设矛盾
故假设不成立,命题1成立
命题2：任何无理数除以非零有理数结果都是无理数
证明：假设命题不成立 设 p/q (p,q∈Z 且q≠0,p≠0)为任意非零有理数 X为任意无理数则 X/(p/q)=m/n (m,n∈Z 且n≠0) X=(p*m)/(q*n)则根据前提1,X为有理数,与假设矛盾故假设不成立,命题2成立
命题3：√2为无理数证明：假设命题不成立则√2为有理数,设√2=p/q (p,q∈Z 且q≠0)2=(p*p)/(q*q)则p必须是偶数∵p/q是既约分数∴q是奇数∴设p=2n q=2m+1(m,n∈Z)∵2*q*q=p*p∴2*(2m+1)*(2m+1)=2n*2n∴(2m+1)*(2m+1)=2n*n 而m,n∈Z时本式不能成立故假设不成立,命题3成立
命题4：任何有限小数都是有理数证明：显而易见~下面进入本证明的关键部分首先介绍狄利克雷函数（Dirichlet Function） f(x)= 1(x为有理数) 0(x为无理数)
命题5：任意两个有理数之间一定存在至少一个无理数 证明：设 p/q、m/n (p,q,m,n∈Z 且q≠0,n≠0)为任意两个有理数,不妨设 p/q＜m/n 则 m/n-p/q=(mq-np)/(nq)为有理数 设Q为正有理数,且满足√2＜Q(mq-np)/(nq) 则 0＜√2/Q＜(mq-np)/(nq) p/q＜√2/Q+p/q＜(mq-np)/(nq)+p/q=m/n 根据命题1、2、3,√2/Q+p/q为无理数∴命题5成立
命题6：任意两个无理数之间一定存在至少一个有理数 证明：设X,Y为任意两个无理数,且X＜Y将X,Y写成小数形式,从最高位开始比较两个数直到找到一位X,Y不一样的位数,那一位上的数必然是X＜Y去掉Y在那一位以后的所有位,得到一个有限小数,记为Z显而易见X＜Z＜YZ为有理数,命题6成立
根据命题5、6,任意有理数都不连续,任意无理数也都不连续,根据前提3,则狄利克雷函数在全体实数上处处不连续.

x属于R的任意点的时候,x的某邻域一定是无理数,那么在这一邻域f(x)=x^0=1
所以fx在除去1有理数上的值为f(x)=x不等于1,即fx在除去1的所有有理数上间断,在1与所有无理数几何上连续.
由上问可知fx在1与无理数上连续可导,且导数为0,在除去1的有理数上间断且不可导

一、
实数域上的狄利克雷（Dirichlet）函数定义为分段函数：
D(x) = 0 (x是无理数)
1 (x是有理数)
1、定义域 R ,值域 {0,1}
2、奇偶性
∵ x 和 -x 同为有理数或同为无理数
∴ D(-x) = D(x)
又定义域是 R
故 为偶函数
3、周期性
对于无理数T
当x为有理数时,x+T是无理数,D(x+T) ≠ D(x)
∴无理数不是周期
对于任意非零有理数 T,
若x是有理数,则x+T也是有理数,D(x+T) = D(x) = 1
若x是无理数,则x+T也是无理数,D(x+T)= D(x) = 0
故 周期为任意非零有理数.
4、连续性
连续性是高数里的概念,通俗的说就是函数的每个点是连在一起的.
例如 y=x在R上是连续的,y=1/x 在x=0处不连续,但在[1,2] 这样的区间是连续的.
狄利克雷函数在每一处都是不连续的.
因此我们无法画出它的图像.
5、可导性
通俗的说,可导就是在某一点是平滑的,例如y=x²图像上的点,都是可导的
y=|x| 在 x=0处是不可导的,在其他点是可导的.
狄利克雷函数处处不可导.
二、魏尔斯特拉斯函数(Weierstrass function)是一类处处连续而处处不可导的实值函数.
将魏尔斯特拉斯函数在任一点放大,所得到的局部图都和整体图形相似.因此,无论如何放大,函数图像都不会显得更加光滑,也不存在单调的区间.
你可以想象一下,函数的每一个点都是像y=|x| 在 x=0的那个点.