y=sin^2x+sinx+cosx+2,求函数y的值域

1983081312022-10-04 11:39:541条回答

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jotyb_d1tg59a0 共回答了16个问题 | 采纳率87.5%
y=sin²x+sinx+cosx+2
=(1-cos2x)/2+√2sin(x+л/4)+2
=(1/2)*sin(2x+л/2)+ √2*sin(x+л/4)+5/2;
=(1/2)*sin(2θ)+ √2*sin(θ)+5/2;……θ=x+л/4;
对上式两端求导并令导数等于0:y’=cos(2θ)+ √2*cosθ=0;
整理成二次方程:2cos²θ+ √2*cosθ-1=0;
解方程得:cosθ=(√10-√2)/4;(小于-1的根不合理舍去);
sinθ=±√(1-cos²θ)=±[√(1+√5)]/2;
sin(2θ)= sinθ*cosθ=±{[√(1+√5)]/2}*(√10-√2)/4=±[√(2√5-2)]/4;
Max y=(1/2)* [√(2√5-2)]/4+√2*(√10-√2)/4+5/2=[√(2√5-2)]/8+√5/2+2;
Min y=(1/2)* [-√(2√5-2)]/4+ √2*(-√10-√2)/4+5/2=3-[√(2√5-2)]/8-√5/2;
1年前

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