过等轴双曲线x^2-y^2=a^2上一点P作一条渐近线的垂线,垂足为A,求△POA的面积

利用点到直线距离公式,√2=|a-b|/√2,所以|a-b|=2,并且点P在等轴双曲线X^2-Y^2=1的右支上,所以a^2-b^2=1,由于双曲线右支在渐进线Y=X下方,所以a-b>0,即a-b=2,把a^2-b^2=1因式分解得a+b=1/2,所以点P坐标是(5/4,-3/4)

c^2=2a^2
PF1-PF2=2a
两边平方
PF1^2-2PF1PF2+PF2^2=4a^2
又PF1^2+PF2^2=4C^2
PF1PF2=2a^2
S△PF1F2=0.5*PF1PF2=a^2

设P(x,y)为双曲线x²-y²=1上任意一点,则有y²=x²-1,
因为F1(-√2,0),F2(√2,0),
所以|PF1|²=(x+√2)²+y²=x²+2√2x+2+x²-1=2x²+2√2x+1,
|PF2|²=(x-√2)²+y²=x²-2√2x+2+x²-1=2x²-2√2x+1,
(|PF1||PF2|)²=(2x²+2√2x+1)(2x²-2√2x+1)=(2x²+1)²-(2√2x)²=(2x²-1)²,
即|PF1||PF2|=2x²-1 (x²≥1),
又|OP|²=x²+y²=2x²-1,所以|PF1||PF2|=|OP|².

设椭圆方程为y/a+x/(a-1)=1,与直线X+Y=3联立得：
(x-3)/a+x/(a-1)=1,整理得：
化为关于x的一元二次方程,然后有解△>0就可以确定a的最小值了（注意a>0）

X^2-Y^2=a^2与圆X^2+(Y-b)^2=r^2联立得:
y^2+a^2+y^2-2by+b^2=r^2
2y^2-2by+a^2+b^2-r^2=0
y1+y2=b
y1y2=(a^2+b^2-r^2)/2
所以,y1^2+y2^2=(y1+y2)^2-2y1y2=b^2-(a^2+b^2-r^2)=r^2-a^2
所以,x1^2+x2^2=(y1^2+a^2)+(y2^2+a^2)=r^2+a^2
那么,四个点到原点的距离的平方和=2[(x1^2+y1^2)+(x2^2+y2^2)]=2(r^2+a^2+r^2-a^2)=4r^2

=a
所以c²=a²+a²=2a²
所以e=c/a=√2

设P点坐标为(x,y)
则P到原点的距离为√(x^2-y^2)=√(2x^2-a^2)
∴P到原点的距离的平方为2x^2-a^2
化简该双曲线方程,得：x^2/a^2-y^2/a^2=1
根据双曲线的交半径公式,得：
两交半径的乘积为(ex-a)(ex+a)=(ex)^2-a^2
∵c^2=a^2+a^2=2a^2
∴c=(√2)a
e=c/a=√2
∴两交半径乘积为2x^2-a^2
∴P到它两个焦点的距离的积等于p到双曲线中心距离的平方

证明：设A,B的坐标分别为A(-a,0),B(a,0),P点坐标为(s,t);则PQ=t的绝对值,QB=(s-a)的绝对值,QA=(s+a)的绝对值,因为QB*QA=(s-a)(s+a)的绝对值=（s^2-a^2)的绝对值因为t^2>a^2,所以QB*QA=s^2-a^2,又因为PQ^2=t^2因为(t,...

我用手机打不出过程,就只说一下思路,希望有点用.椭的焦点F1,F2.
F1关于L:x+y=3对称的点为F3,
连F3与F2交L于P,
则PF1+PF2最短,为2a.
又因为椭圆长轴为2a,所以椭过这一点时长轴最短.下面的你自己算吧谢