f（x）=ex+1ex−1是（　　）函数．

解题思路：（1）求f（x）的定义域可令分母e^x-1≠0求解即可；
（2）讨论f（x）的奇偶性并证明，本函数是一个奇函数，由定义法证明即可；
（3）化简f（x）的表达式，利用指数函数在（0，+∞）的单调性与值域，即可证明结果．

（1）令分母2^x-1≠0解得x≠0，故定义域为{x|x≠0}
函数的解析式可以变为f（x）=1+
2
ex−1，由于e^x-1≠0，故x≠0．
∴f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）
（2）函数是一个奇函数，证明如下
f（-x）=
e−x+1
e−x−1=
ex+1
1−ex=-
ex+1
ex−1=-f（x），故是一个奇函数．
（3）由于f（x）=1+
2
ex−1，在（0，+∞）上，e^x-1递增且函数值大于0，

2
ex−1＞0，在（0，+∞）上恒成立，故当x＞0时，f（x）＞1．

点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题考查函数单调性的、奇偶性的判断与证明以及函数的定义域的求法，求解此类题的关键是对函数性质的证明方法了然于胸，熟知其各种判断证明方法．

解题思路：（Ⅰ）由给出的函数解析式求出函数的值域，再由解析式解出x，即把x用含有y的代数式表示，最后把x和y互换即可；
（Ⅱ）函数的定义域关于原点对称，然后直接利用判断函数奇偶性的定义，换x为-x整理即可．

（Ⅰ）由y＝
ex+1
ex−1，得ye^x-y=e^x+1，
从而ye^x-e^x=y+1，（y-1）e^x=y+1，∴ex＝
y+1
y−1．
由ex＝
y+1
y−1＞0，得y＜-1，或y＞1．
再由ex＝
y+1
y−1，得x＝ln
y+1
y−1(y＜−1，或y＞1)，
∴f−1(x)＝ln
x+1
x−1（x＜-1或x＞1）．
（Ⅱ）f(x)＝
ex+1
ex−1中，∵e^x-1≠0，∴x≠0．∴函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，它关于原点对称．
∵f(−x)＝
e−x+1
e−x−1=
(e−x+1)•ex
(e−x−1)•ex＝
1+ex
1−ex＝−
ex+1
ex−1＝−f(x)，
∴函数f（x）是奇函数．

点评：
本题考点： 反函数；函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题考查了函数反函数的求法，考查了函数奇偶性的判断，求一个函数的反函数，一定不要忘记注函数的定义域，即原函数的值域，判断函数的奇偶性，前提是定义域关于原点对称，此题是中档题．