微分同胚 黎曼几何 唐梓洲的书为什么这个是微分同胚的?phi的逆映射是t^{1/3},这在0处不是光滑的啊?

微分同胚考察的是坐标卡之间的关系,而不是与原空间的关系.
证明微分同胚,首先证明同胚,此例中是显然的.然后证明映射可微,这里你犯了个错误,就是把原空间与坐标卡混淆了,原流形作为一个拓扑空间是无法做微分的（即使是例中的R,你把它看成拓扑空间时只是一条直线,要忘掉他本身的微分结构）,只有在局部同胚于欧氏空间时才会把欧氏空间中的微分结构借过来作为自己的局部微分结构（微分结构是附加结构）,所以考察两个微分流形是否微分同胚需要考察的是两个坐标卡之间的映射而不是两个拓扑空间之间的映射（例子中给出的拓扑空间的映射原则上无法做微分,你认为可微是因为你没有忘掉他原来的微分结构）.也就是考察拓扑空间映射前后复合上坐标映射后得到的映射是否可微.此例中复合后的映射实际上是恒等映射,所以自然是光滑的.
有问题还可以继续问我.

研究微分流形在微分同胚映射下不变的性质的数学分支。研究的基本对象是微分流形或带边的微分流形以及这样的流形之间的可微映射。m维微分流形　Mm是局部欧几里得空间，即每点x∈M存在邻域u及同胚j：u→v，其中v是Rm的一个开集，（u，j）为Mm在点x的局部坐标且一点的两个局部坐标之间的坐标变换是C＆yen；光滑的。两微分流形之间的可微映射f：　　Mm→Nn是指它们在每点x∈Mm的局部表示ψof　oj1－...

研究微分流形在微分同胚映射下不变的性质的数学分支。研究的基本对象是微分流形或带边的微分流形以及这样的流形之间的可微映射。m维微分流形　Mm是局部欧几里得空间，即每点x∈M存在邻域u及同胚j：u→v，其中v是Rm的一个开集，（u，j）为Mm在点x的局部坐标且一点的两个局部坐标之间的坐标变换是C＆yen；光滑的。两微分流形之间的可微映射f：　　Mm→Nn是指它们在每点x∈Mm的局部表示ψof　oj1－...