xy^2dy=(x^3+y^3)dx 求通解

igg千丈晴虹2022-10-04 11:39:542条回答

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文雨轩共回答了19个问题 | 采纳率84.2%: xy^2dy=(x^3+y^3)dx
变形得：y'=(x/y)^2+y/x
令u=y/x,代入得：
u+xu'=1/u^2+u xu'=1/u^2
u^2du=dx/x
u^3/3=lnx+lnC
通解为：（y/x)^3=3ln(Cx); 1年前

303554431 共回答了70个问题 | 采纳率: y'=(xxx+yyy)/xyy=xx/(yy)+y/x
设y=xg
y'=xg'+g xg'+g=1/g^2+g xg'=1/g^2
g'g^2=1/x g^2dg=1/xdx 同时积分 1/3g^3=lnx+C/3
g^3=3lnx+C
y=xg=x*三次根号下(3lnx+C); 1年前

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补线段L1：y=0,x：-a→a
则L+L1为封闭曲线,可以用格林公式
∮(L+L1) xy²dy-x²ydx
=∫∫ (y²+x²) dxdy
=∫[0→2π]dθ ∫[0→a] r³ dr
=2π(1/4)r^4 |[0→a]
=(1/2)πa^4

下面计算所补线段上的积分
∫(L1) xy²dy-x²ydx=0

因此：原积分=(1/2)πa^4-0=(1/2)πa^4

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注意：∫∫x^2+y^2dxdy是二重积分,在D上x^2+y^2≤a^2

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不知道看的懂否,符号有够肯跌哈哈

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