⊙O中弦AB与CD相交于点E,且E为弦CD的中点,半径OC⊥AB,已知⊙O的半径为4cm,弦AB长为4√3cm,

解题思路：在Rt△ACE，Rt△ACE中有∠CEP=∠A，∠DEQ与∠CEP是对顶角，由同弧所对的圆周角相等得∠A=∠D，∴∠DEQ=∠D，∴EQ=QD再根据等角的余角相等得∠QEB=∠B，∴EQ=QB，∴EQ=QD=QB，即Q为BD的中点．

证明：∵AB⊥CD于点E，过E作AC的垂线交BD于点Q，
∴三角形ACE、三角形PCE、三角形APE、三角形BED都是直角三角形．
∴∠DEQ=∠CEP（对顶角相等）．
∠CEP=∠A（同角的余角相等）．
又∵∠A=∠D（同弧所对的圆周角相等），
∴∠DEQ=∠D，∴EQ=QD（等角对等边）．
又∵∠QEB=∠B（等角的余角相等），
∴EQ=QB．
∴EQ=QD=QB，即Q为BD的中点．

点评：
本题考点： 圆心角、弧、弦的关系．

考点点评： 本题利用了直角三角形的性质、同弧所对的圆周角相等、等角的余角相等，等角对等边求解．

连接CB
则三角形EAC与三角形CAB都是等腰三角形,且角EAC相等,所以二者相似,则
AE:AC=AC:AB
AC*AC=AE*AB
证明完毕

连AC,BC,CE
因为弦AB⊥直径CD,所以CD垂直平分AB,AC=BC
∠A=∠B
又因为EA=EC,所以∠A=∠ACE
所以,△ABC~△ACE
所以,AC/AB=AE/AC
AC*AC=AE*AB
补充：
因为PB=PE,所以,∠PBE=∠PEB
而∠PBE=∠A+∠ACE=2∠A,∠PEB=∠PBC+∠CBF,且∠CBF=∠A
所以,2∠A=∠PBC+∠A
∠PBC=∠A
所以,∠PBC是弦切角
故:PB是⊙o的切线

假设：半径OC垂直AB于点F
连接OE
OF=√(OA^2-AF^2)=2
OE^2=OF*OC=8
CD=2CE=2√(OC^2-OE^2)=4√2