limx→0 1-cosx/x^2的值

利用泰勒展开式
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-...+(-1)^k*x^(2k)/(2k)!+...
所以1-cosx=x^2/2!-x^4/4!+...-(-1)^k*x^(2k)/(2k)!+...
所以(1-cosx)/x^2=1/2!-x^2/4!+...-(-1)^k*x^(2k-2)/(2k)!+...
所以极限=1/2!=1/2

当x＞0时,f(x)=(1-cosx)/x²=[1-1+2sin²(x/2)]/x²=[2sin²(x/2)]/x²
此时f(x)的左极限
=《x→0》lim f(x)
=《x→0》lim [2sin²(x/2)]/x²
=《x/2→0》lim [(1/2)sin²(x/2)]/(x/2)²
=《x/2→0》(1/2)lim [sin²(x/2)]/(x/2)²
=1/2
当x

方法一：无穷小量乘以有界函数还是无穷小
方法二：定义法证明
对于任意给定的任意小的正数ε,存在正数X＝1/√ε,当|x|＞X时,|(cosx)/x^2－0|≤1/x^2＜ε,所以lim(x→0) (cosx)/x^2＝0

lim（1-根号cosx/x^2 ）=lim（（x^2-根号cosx）/x^2 ）
罗比他法则对分子分母求导=lim（（2x+1/2sinx/根号cosx）/2x ）
=lim（（2+1/2(cosx根号cosx-sinx/根号cosx)/cosx）/2 ）
=5/4

这就涉及到两个函数比的导数问题,虽然两个函数的和差的导数等于两个函数导数的和差,但两个函数的乘积或者相除的导数一般情况下等于两个函数导数的乘积和相处.
y=(sinx/x)',和y=(sinx)'/x'是不一样的,
所以：y'=(xcosx-sinx)/x^2 .