非欧几何和欧式几何的最本质的区别是什么呀?

恩,定义是一样的
关键不同是对公理的采用
非欧几何是指不同于欧几里得几何学的一类几何体系.它一般是指罗氏几何和黎曼几何.非欧几何与欧氏几何最主要的区别在于各自的公理体系中采用了不同的平行公理.
罗氏几何的平行公理是：通过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行.而黎曼几何的平行公理是：同一平面上的任意两条直线一定相交.
非欧几何的创建打破了欧氏几何的一统天下的局面,从根本上革新和拓广了人们对几何学观念的认识,导致人们对几何学基础的深入研究.而且对于物理学在二十世纪初所发生的关于空间和时间的物理观念的变革起了重大的作用.现在人们普遍认为宇宙空间更符合非欧几何的结论.

空间扭曲使得时间界限扭曲,标准时间面改变,从而使高速运动的物体中的时间和由于惯性系无法定义,爱因斯坦将相对性原理推广到非惯性系,提出了广义相对论

现实意义啊,当非欧几何的概念被提议时,就有了.如果,你问非欧几何被划分为一类学科,是哪年,我倒不知.
严格来说,罗氏几何的公示,非欧几何才有现实意义.
1868年,意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》,证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现.这就是说,非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题,如果欧几里得几何没有矛盾,非欧几何也就自然没有矛盾.

不是这样的,欧式几何和两种非欧式几何（罗氏几何、黎曼几何）是不相矛盾的,也就是说可以相互转化.
罗巴切夫斯基几何除了一个平行公理之外采用了欧氏几何的一切公理.因此,凡是不涉及到平行公理的几何命题,在欧氏几何中如果是正确的,在罗氏几何中也同样是正确的.在欧氏几何中,凡涉及到平行公理的命题,在罗巴切夫斯基几何中都不成立,他们都相应地含有新的意义.
　欧氏几何:
同一直线的垂线和斜线相交.
垂直于同一直线的两条直线平行.
存在相似而不全等的多边形.
过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆.
罗巴切夫斯基几何:
同一直线的垂线和斜线不一定相交.
垂直于同一直线的两条直线,当两端延长的时候,离散到无穷.
不存在相似而不全等的多边形.
过不在同一直线上的三点,不一定能做一个圆.
详细参考百科.

你好!
如果用广义相对论那样的方式去进行类比,经典的量子力学应该是“描述”欧式几何空间的.
但是如果说量子力学的理论基础,大家都会说是 希尔伯特空间.这是欧式几何空间的一个推广.
————————具体解释看下面————————
广义相对论是基于非欧空间：
这是因为在牛顿力学中,空间是平坦的,在空间中建立一个直角坐标系,该平面上三角形内角和是等于180的.但是在广义相对论的理论中,空间被引力扭曲,被扭曲的空间中,平行的直线可以相交,满足非欧空间的性质罢了.
经典的量子力学不关心的真实的“空间”：
而量子力学对于 “空间” 是什么样子的,没有做过讨论,也不关心这个问题,所以大家一般认为空间是牛顿力学那个样子的——因为这样比较 简单.
希尔伯特空间是抽象的：
希尔伯特空间不是一个关于真实的,可以触摸到的空间,是纯数学上的一个概念,量子力学用这个空间里的矢量,描述的是波函数的运动.希尔伯特空间可以是六维的,11维的,1000维的,无穷维,它和真实运动中提到的空间没有直接关系.

非欧几何中实际上并不是意味要坚决反对我们现在几何学中的那种不相交的结论,在几何学早期阶段,人们最大的渴望不是给出一个结论,而是证明这个结论,证明思维的出现意味着人们对于知识的要求更加严格,这说明他们已经受到了哲学的深厚影响,要求一个完美的结论,而不是简单的推论了.于是就要找到事实去实证它,才认可平行线不能相交,不能实际的证明它就不承认它的真理性.他们说人类无法把两条平行线无限延长所以无法肯定平行线是否可以相交.
这就像割圆术一样,总是无限接近,就像无理数和极限的出现一样,人们喜欢的总是完美的东西

这应该是球面三角的问题.我没有学过.
单三角形内角和肯定不是180度的.例如：把一个球面军分成8份.每一份都是在球面上的三角形.它们的内角和都是270度.

高斯几何(罗巴切夫斯基几何),三角形的内角和小于180°,用于微观几何体,如分子,原子
黎曼几何,三角形的内角和大于180°,用于宏观几何体,如天体

拓扑学,抽象代数,高等数学.

都是神仙!

初中几何主要是平面几何,包括初一的点、线、角,三角形,初二的矩形,正方形,长方平形四边形,菱形,还有初三的圆,以及结合的各种平面图形

如果在一维考虑这个问题,可以把数轴的正负无穷“粘”起来（这样数轴可以看作一个圈）,正负无穷是一个点,并无区别.1/x是分式线性变换,保交比不变.
如果在二维考虑这个问题,至少（依我的水平）有两种看法吧.
如果在射影平面上看,每一个方向与一个无穷远点相对应,平行的直线相交于同一个无穷远点,一条直线的两端（有点像正负无穷）都是同一个点.
举个例子来说,双曲线和椭圆是射影等价的,但是双曲线有两支,却可以和椭圆一样“一笔”画出：
沿一支的渐近线延伸下去,上面说到,渐近线的两端是同一点,所以在无穷远处（或者说在无穷远的坐标下）双曲线的两支是相通的.
如果在增广复平面C∪{无穷远点}上考虑问题,无穷远处只有一个点,上面所说的变换1/x可以扩充为复平面上的变换1/z,是复线性变换,保圆.当z->0时,1/z趋向于“无穷远点”.

有两种描述
罗氏几何的平行公理是：通过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行.而黎曼几何的平行公理是：同一平面上的任意两条直线一定相交

第五公设内容为：同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在直线同侧的两个内角之和小于180°,则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交.

第五公设又称为平行公设,可以导出下述命题：
通过一个不在直线上的点,有且仅有一条不与该直线相交的直线.
非欧几何
开放分类： 科学、数学、几何
非欧几何学是一门大的数学分支,一般来讲 ,他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义.所谓广义式泛指一切和欧几里的几何学不同的几何学,狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的,至于通常意义的非欧几何,就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何.
欧几里得的《几何原本》提出了五条公设,长期以来,数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来,显得文字叙述冗长,而且也不那么显而易见.
有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到,而且以后再也没有使用.也就是说,在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题.
因此,一些数学家提出,第五公设能不能不作为公设,而作为定理?能不能依靠前四个公设来证明第五公设?这就是几何发展史上最著名的,争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论.
由于证明第五公设的问题始终得不到解决,人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对?第五公设到底能不能证明?
到了十九世纪二十年代,俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中,他走了另一条路子.他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设,然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统,展开一系列的推理.他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾,就等于证明了第五公设.我们知道,这其实就是数学中的反证法.
但是,在他极为细致深入的推理过程中,得出了一个又一个在直觉上匪夷所思,但在逻辑上毫无矛盾的命题.最后,罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：
第一,第五公设不能被证明.
第二,在新的公理体系中展开的一连串推理,得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理,并形成了新的理论.这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学.
这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何,简称罗氏几何.这是第一个被提出的非欧几何学.
从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中,可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学.
几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时,匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在.鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待.他的父亲——数学家鲍耶·法尔卡什认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事,劝他放弃这种研究.但鲍耶·雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作.终于在1832年,在他的父亲的一本著作里,以附录的形式发表了研究结果.
那个时代被誉为“数学王子”的高斯也发现第五公设不能证明,并且研究了非欧几何.但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害,不敢公开发表自己的研究成果,只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法,也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论.
罗氏几何
罗氏几何学的公理系统和欧式几何学不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“从直线外一点,至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替,其他公理基本相同.由于平行公理不同,经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题.
我们知道,罗氏几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理.因此,凡是不涉及到平行公理的几何命题,在欧式几何中如果是正确的,在罗氏几何中也同样是正确的.在欧式几何中,凡涉及到平行公理的命题,再罗氏几何中都不成立,他们都相应地含有新的意义.下面举几个例子加以说明：

欧氏几何研究的是“平直”的几何物体,比如直线、平面等等.它的研究背景空间当然是最平直的欧氏空间 非欧几何则是研究“弯曲”的空间.在整个宇宙中, 实际上是没有真正“平直”的几何物体的,而只有弯曲物体.欧氏几何只是一种理想化的模型. 因此非欧几何才是研究物理世界的最准确的几何模型.
非欧几何的重要作用之一就是为广义相对论提供了最有效的数学基础,揭示了引力和空间扭曲的几何性质之间的关系.

也是两条不相交的直线就叫做平行线.在罗氏几何中,过直线外一点至少可做两条平行线,而在黎曼几何中,则一条也做不出来.似乎在黎曼几何中任意两条直线都是相交的.

主要是哲学问题,而非数学问题.
欧氏哲学认为：我们可以从已知的事情推得未知的事情.
非欧氏哲学认为：我们未得到明确答案的事情永远都是不确定的.
对于平行线问题,非欧氏哲学认为：我们永远无法得到无限长的平行线,所以就无法确定它们是否相交.

从三角形三内角之和等于180°这个结论,而有接下来的重要发展:(1)球面几何 我们所讨论的三角形,并不一定都要在平面上,也可以是一个球面三角形,在这种情形下,三角形三内角之和必然大于180°,并且有一个非常重要的公式:...

我觉得你的观点很奇葩,你看问题的角度不同,当然会认为一个对一个错.你就不能换位思考?
为什麼这麼说你?你认为过一点有且只有一条直线与已知直线平行是正确的,有两条以上是错误的.这是因为你站在平面上思考问题.非欧几何研究的是球面,比如地球就是球面,非欧几何在航海上运用非常广泛.你用你平面的思想去理解球面当中的定义,你能不错吗?就好比你用篮球的规则去踢足球,你能赢吗?
球面是同一平面,和谁是同一平面请你告诉我?既然是"同一",那麼就有比较的对象.球面是曲面,平面是平面,就好比直线和曲线一样.你难道想用直线方程来研究圆锥曲线说因为有x平方和y平方所以圆锥曲线不应该存在是吗?

因为欧氏几何是建立在欧几里德日常生活观察的基础上,你生活的环境和欧几里德一样,所以不会“反直觉”.非欧几何是“不是欧氏几何”的统称,比如球面几何,可以用来描述一些地球表面上的效果(比如飞机的最短航线不是直线而是测地圆)这些东西一般人无法观察到,所以才会“反直觉”归根结底是一般人的见识太少而大惊小怪……