设X是Banach空间,证明如果X*是可分的,则X是可分的

（1）赋范向量空间是具有“长度”概念的向量空间.是通常的欧几里德空间 Rn 的推广.Rn中的长度被更抽象的范数替代.“长度”概念的特征是：
零向量的长度是零,并且任意向量的长度是非负实数.
一个向量 v 乘以一个标量 a 时,长度应变为原向量 v 的 |a|（ a 的绝对值）倍.
三角不等式成立.也就是说,对于两个向量 v 和 u ,它们的长度和（“三角形”的两边）大于 v+u （第三边）的长度.
一个把向量映射到非负实数的函数如果满足以上性质,就叫做一个半范数；如果只有零向量的函数值是零,那么叫做范数.拥有一个范数的向量空间叫做赋范向量空间
（2）Banach空间是完备的线性赋范向量空间
（3）在数学中,度量空间是一个集合,在其中可以定义在这个集合的元素之间的距离(叫做度量)的概念
（4）内积空间的定义：设V是数域P上的线性空间,V到P的一个代数运算（V×V－>P）,记为 (ɑ,ß) .如果(ɑ,ß)满足下列条件：
1) (ɑ,ß) = (ß,ɑ)；
2) (ɑ+ß,γ) = (ɑ,γ) + (ß,γ)；
3) (kɑ,ß) = k(ɑ,ß)；
4) (ɑ,ɑ)≥0,当且仅当ɑ=0时(ɑ,ɑ)=0,
其中k是数域P中的任意数,ɑ、ß、γ是V中的任意元素,则称(ɑ,ß)为ɑ与ß的内积,定义了内积的线性空间V称为内积空间.特别地,称实数域R上的内积空间V为Euclid空间（欧式空间）；称复数域C上的内积空间V为酉空间.
（5）希尔伯特空间：在一个复向量空间H上的给定的内积并导出一种范数,如果其对于这个范数来说是完备的,那么它就是希尔伯特空间.这里的完备性是指,任何一个柯西列都收敛到此空间中的某个元素,即它们与某个元素的范数差的极限为0.希尔伯特空间也是一个内积空间,其上有距离和角的概念（及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念）,希尔伯特空间还是一个完备的空间.

只要证明这个子空间完备即可.
这个子空间中的任何Cauchy列都是大空间里的Cauchy列,所以在大空间里收敛到一个点,而这个点必须在这个闭子空间里,因为这个子空间是大空间里的闭集.

南开大学刘炳初编的泛函分析书上有Banach-Steinhaus定理的证明,这里的条件满足那个证明的条件

Hilbert空间是Banach空间的一种,是带内积的.
Hilbert空间给出的是内积,这个内积决定了一个范数,即：x的范数定义为x和自身的内积.这样Hilbert空间自然成为Banach空间.
容易说明,由内积所定义的范数满足平行四边形等式,即||a+b||+||a-b|| = 2 (||a|| +||b||).所以不满足平行四边形等式的范数所给出的Banach空间无法成为Hilbert空间.

距离空间是线性空间的一种特例
在线性空间定义一个范数线性空间就成为赋范线性空间
完备的赋范线性空间就是Banach空间
内积空间是满足对称性,线性性,数乘性,正定性
完备的内积空间就是Hilbert空间