A,B为正定阵,证：AB是正定阵的充要条件是A,B可交换.

n阶实矩阵A=(aij)是正定阵,其中aij=1/(i+j)

xx有才1年前1

巴dd布衣ok 共回答了26个问题 | 采纳率80.8%

考察[0,1]上的函数空间span{x^{1/2},x^{3/2},x^{5/2},...,x^{n-1/2}},定义内积为它们的乘积在[0,1]上的定积分,那么A是基{x^{1/2},x^{3/2},x^{5/2},...,x^{n-1/2}}对应的度量矩阵,所以正定

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线性代数 正定阵判断A的伴随阵与A的逆阵为什么可以正定互推 即当其中一个正定则另一个正定了 是李永乐错了 伴随正定推不出

线性代数 正定阵判断
A的伴随阵与A的逆阵为什么可以正定互推 即当其中一个正定则另一个正定
了 是李永乐错了 伴随正定推不出逆正定的

taozi2211年前1

jlbeihua 共回答了13个问题 | 采纳率76.9%

正定的一个充分必要条件是：所有特征值均为正数,必要条件是：|A|＞0
设有Aα=λα
变换有A^（-1）·α=1/λ ·α (1)
继续变换有 A*α=|A|/λ·α (2)
又上面可知：A^（-1）的特征值为：1/λ＞0
A*的特征值为：|A|/λ＞0
利用第一条充要性证明
补充
（1）若A逆正定,λ＞0,则A正定,则|A|＞0,|A|/λ＞0,得出A伴随正定.
（2）若A伴随正定,则|A*|＞0,|A|^（n-1)＞0,则|A|＞0,反带回去,得到λ只能大于0,
λ＞0,则A逆正定.
结合的上面的看

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设B是n×n矩阵，A是n阶正定阵，证明：

设B是n×n矩阵，A是n阶正定阵，证明：
（1）r（B^TAB）=r（B）；
（2）B^TAB正定的充要条件是B可逆．

姚璇蛋蛋1年前1

欧阳聪明 共回答了15个问题 | 采纳率73.3%

解题思路：（1）A为正定阵知，存在可逆阵D，满足A=D^TD，然后代入r（B^TAB）=r（B），从而得证．
（2）注意是充要条件，所以既要从左证到右边，也要从右边证到左边，证法一问相同．

（1）由A为正定阵知，
存在可逆阵D，使得A=D^TD．
故R（B^TAB）=R（B^TD^TDB）
=R[（DB）^T（DB）]
=R（DB）
=R（B）．
（2）由A正定知，
存在可逆阵D，使A=D^TD，
由B^TAB正定⇒B^TAB=（DB）^T（DB）正定⇒DB可逆
⇒B可逆．
由A正定，
B可逆⇒B^TAB=（DB）^T（DB），
再由DB可逆⇒B^TAB正定．
故本题得证．

点评：
本题考点： 判断正定的充要条件；矩阵可逆的充分必要条件．

考点点评： 本题主要考查判定矩阵正定的充要条件，存在可逆阵是解答此题需要发现的关键，本题属于基础题．

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n阶矩阵a是正定阵,证明a*也是 正定阵,使用正惯性指数证明.

寒影冰狐1年前1

fly3 共回答了16个问题 | 采纳率87.5%

思路：a正定则它的逆a^(-1)正定且行列式|a|>0,所以a*=|a|a^(-1)正定.

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请教两个高代问题【牛人请入】1.已知A、B为同阶正定阵,A-B也正定,问A^2-B^2是否正定,为什么?2.已知S为n阶

请教两个高代问题【牛人请入】
1.已知A、B为同阶正定阵,A-B也正定,问A^2-B^2是否正定,为什么?
2.已知S为n阶对称正定阵,A是n阶实对称矩阵,求证AS的特征值都是实数.

烟火的最后1年前1

发臭的牛皮菜 共回答了21个问题 | 采纳率95.2%

1 不对 取 A=（1,0,0,2） B=（0.7,0.6,0.6,0.7） （这里A,B是2阶矩阵 这里不好写 反正元素是从上到下 从左到右写的） 为反例.
2 设 S=P'P P可逆 则 SA=P'PA 相似于 P'^(-1)P'PAP'=PAP'对称
所以特征值都为实数 所以SA特征值也都为实数

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线性代数的问题：已知A、B为m行n列的矩阵,且有r（A+B）=n,求证：AA^T+BB^T（^T转置的意思)为正定阵

线性代数的问题：已知A、B为m行n列的矩阵,且有r（A+B）=n,求证：AA^T+BB^T（^T转置的意思)为正定阵
^T转置的意思,打不出来不好意思

1234king56781年前1

禾水2007 共回答了19个问题 | 采纳率94.7%

题目有问题：
对于mxn矩阵,当m>n时,R(A+B) = n,不能保证mxm矩阵满秩,楼下给出了反例.
所证明结论应为：A'A+B'B正定,以下按此证明
证明：
　 由于R(A+B) = n,可知m≥n.因此对于非零n维向量X,有：
　 　(A+B)X≠0 ==> AX+BX ≠ 0(向量)
==> AX,BX 不同时为0向量 (充分非必要条件)
　　 因此向量的数量积 (AX)'AX, (BX)'BX不同时为零
　　显然(AX)'AX为向量AX的模,(AX)'AX ≥0,同样(BX)'BX≥0
　 由以上两点可得：
　　 (AX)'AX + (BX)'BX >0
　　 ==> X'A'AX + X'B'BX >0
==> X'(A'A + B'B)X >0
　　 即：对于任意n维非零向量X,有X'(A'A + B'B)X >0, (A'A + B'B) 正定

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线性代数:对阵矩阵和正定阵的实际意义?

线性代数:对阵矩阵和正定阵的实际意义?
对称矩阵和正定矩阵有什么实际的意义吗?为什么线性代数要研究它们?是为了某种性质来创造了对阵阵和正定阵吗?

rossitty_xiong1年前1

musicandroad 共回答了13个问题 | 采纳率92.3%

这主要是为了实际应用的需要.
引进对称矩阵和Hermite矩阵主要是为了研究自共轭算子,而实际当中大量的算子恰恰就是自共轭的,不论是经典力学还是量子力学都如此.其中有很大一批自共轭算子确实是有正定性的,主要也是描述一些必然是正的物理量(比如距离、质量等等).
数学上的很多概念,尤其是比较古老的概念一般都来源于实际问题,因为一些比较特殊的性质的发现使得这些概念得以保留下来,并用于单独研究.

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a为实对称矩阵 证明必有实对称矩阵b 使a+b为正定阵

子夜猫灵1年前2

zhouqin_flute 共回答了13个问题 | 采纳率92.3%

A的特征值为a1,...,an,取a,使得a+ai>0,i＝1,...,n,则B＝aE,A+B的特征值a+ai均大于0,是正定阵.

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设A是mxn矩阵,E是n阶单位阵,矩阵B=-aE+ATA是正定阵,则a取值范围?

设A是mxn矩阵,E是n阶单位阵,矩阵B=-aE+ATA是正定阵,则a取值范围?
BT=（-aE+ATA）T=-aE+ATA=B.B是对称阵.
B正定 推出 对任意给的x不等于0,有
xTBx=xT（-aE+ATA）x=-axTx+xTATAx=-axTx+（Ax）TAx大于0
其中（Ax）T（Ax）大于等于0,xTx大于0,
所以-a大于0,a小于0
请问,（Ax）T（Ax）大于等于0,xTx大于0 这个怎么来的?

nmr10091年前1

吴佩芝 共回答了15个问题 | 采纳率86.7%

这是向量内积的非负性.
即对任意n维列向量a,总是有 (a,a) >= 0.
等号成立的充分必要条件是 a=0.
x^Tx = (x,x) 是x的对应分量乘积之和
即若 x = (a1,...,an)^T,则 x^Tx = a1^2+...+an^2 >=0
Ax 也是一个列向量,也满足 (Ax)'(Ax) >=0

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线性代数正定阵的问题设A=2 t -1 为正定阵 则t满足什么条件 t 2 -1 -1 -1 1谢谢了 没分了…………

viv81251年前3

风吹裤衩gg凉 共回答了13个问题 | 采纳率84.6%

正定的充要条件：所有顺序主子式全大于零.由于没有看清楚矩阵.没办法,作者再想一想.

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证明：任意非奇异实矩阵均可表示为一个正交矩阵和一个正定阵的乘积

普罗旺斯的熏衣草1年前1

gftryvbhh 共回答了19个问题 | 采纳率94.7%

证明：设 U 是非奇异实矩阵,则存在正交矩阵 O 和某个正定矩阵 P,使得 U=PO=OP.并且这个表示法是唯一的.若 U 是辛矩阵,则 P 和 O 都是辛矩阵.

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设A为n阶实对称矩阵.1.证明A的平方+E也为实对称矩阵2.证明:A的平方+E为正定阵其中E为n阶单位阵

enko20081年前1

sk_n 共回答了13个问题 | 采纳率84.6%

由已知,A^T = A
1.(A^2+E)^T = A^2+E
2.对任一n维向量 x ≠ 0,x^Tx > 0,(Ax)T(Ax)>=0
所以 x^T(A^2+E)x = (x^TA)(Ax) + x^Tx = (Ax)^T(Ax) + x^Tx >0
所以 A^2+E 正定.

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设A为m阶正定阵,B为m*n阶矩阵,证明：B^tAB为正定阵的充要条件为R（B）=n

设A为m阶正定阵,B为m*n阶矩阵,证明：B^tAB为正定阵的充要条件为R（B）=n
B^t为矩阵B的转置,是转置乘以A在乘以B.如果能解答,请尽量详细点（步骤）,小弟的线性代数不太好.

chzhfg1年前1

uobi 共回答了20个问题 | 采纳率95%

若r(A)=n,注意Ax＝0的充分必要条件是x＝0.则对任意的非零x,有Ax非零,于是x^TA^TAx=(Ax)^T(Ax)>0,故A^TA正定.反之,设A^TA正定.若r(A)

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正定矩阵的证明题目是这样的A（m*n).B=aI+A（转置）A.证明B是正定阵

aijima1年前1

陌上花开的地方 共回答了14个问题 | 采纳率85.7%

任意非零向量x,x^TBx=x^T(aI+A^TA)x=ax^Tx+x^TA^TAx=a(x^Tx)+(Ax)^T(Ax)>=ax^Tx>0,因此正定.

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B为m阶对称正定阵,P是秩为r的m*r型矩阵,P^TBP=A,证明:证明:A是对称正定阵.

牵了手的手1年前2

vv楚宁 共回答了20个问题 | 采纳率90%

1.A'记作A的转置
A'=(P'BP)'=P'B'P
B为m阶对称正定阵,即B'=B
所以 A'=P'BP=A ,即A是对称的.
2.r维非零向量 x,x'Ax=x'(P'BP)x=(Px)'B(Px)
因为R(P)=r,所以P的列向量线性无关,x是非零向量,
即有Px也是非零向量,
又B为正定阵,所以(Px)'B(Px)>0
即 x'Ax>0
A为正定矩阵.
综上所述,A是对称正定阵.

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证明A既是正定阵又是正交阵,则A是单位阵.

天空中的骆驼1年前1

szjun999 共回答了12个问题 | 采纳率75%

同学,这里的A对称吗?要不好像有一点问题吧?
比如说取A为二阶阵
a11=2/根号5,a12=-1/根号5,a21=1/根号5,a22=2/根号5
这时A正定且正交,但不是单位阵

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求证：对称正定阵A是正交阵 则A是单位阵

求证：对称正定阵A是正交阵 则A是单位阵
如题
To 1楼，ai=1之后，为什么A=I呢？ai=1只能说明a的相似标准型是单位阵，毕竟你的A并不是由a1...an组成的啊？

唐寅书1年前1

sunkiss83 共回答了30个问题 | 采纳率100%

A = P diag(a1,...,an) P'
I = AA'= P diag(...) P' P diag(...) P'
= P diag( a1^2 ,...,an^2 ) P'
diag( a1^2,...,an^2 ) = P'IP = I
又 ai > 0
所以 ai = 1
A = I
=======补充
ai = 1之后,A = P I P' = PP' = I

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矩阵A可逆,为什么A的转置矩阵乘以A为正定阵.给即A^TA为正定

csc1011年前1

sunnr 共回答了17个问题 | 采纳率88.2%

首先（A^TA）^T=A^TA,即A^TA是对称矩阵（这是前提）
由于A可逆,可确定│A^TA│=│A│^2＞0,再运用数学归纳法可得到A^TA的顺序主子式都大于0,
从而A^TA为正定矩阵

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线性代数对角化问题：A为正定阵,B为实对称阵,证明：一定存在可逆矩阵T使得A和B都可以通过T做合同变换成为对角阵.

紫易樱华1年前1

td1g71d 共回答了25个问题 | 采纳率92%

（A'表示A的转置矩阵）
由于A是正定矩阵,A与E合同,故一定存在可逆矩阵C,使C'AC = E.因为C'BC是实对称矩阵,经正交变换可化为对角形,故一定存在正交矩阵D,使D'(C'BC)D为对角阵.
所以,设T = CD,则T可逆,T'AT = D'(C'AC)D = D'D = E,T'BT = D'(C'BC)D为对角阵.
得证.
注：(1)C'BC是实对称矩阵,因为(C'BC)' = C'B'C'' = C'BC.
(2)T可逆,因为|T| = |CD| = |C||D|不等于0.

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