高中数学竞赛题，求大神解。

映日红2022-10-04 11:39:541条回答

高中数学竞赛题，求大神解。

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高中数学竞赛题——数列a0=0 a1=1 an=2a(n-1)+a(n-2)证明若2^k整除an,则2^k整除n必须要 高中数学竞赛题——数列 a0=0 a1=1 an=2a(n-1)+a(n-2) 证明若2^k整除an,则2^k整除n 必须要这么硬算吗？ luojia_20011年前2: Royarty 共回答了22个问题 | 采纳率90.9%

首先注意到,由所给递推关系,
a[n]= 2a[n-1]+a[n-2]= a[n-2] (mod 2)
即a[n]与a[n-2]同奇偶.于是a[2n]是偶数,a[2n-1]是奇数.
下面证明,如果2^(k+1)|a[2n],则2^k|a[n].为此,注意到如下一系列转换关系：
a[n]
=2a[n-1]+a[n-2]
=a[2](2a[n-2]+a[n-3])+a[1]a[n-2]
=(2a[2]+a[1])a[n-2]+a[2]a[n-3]
=a[3]a[n-2]+a[2]a[n-3]
=...
=a[k]a[n-k+1]+a[k-1]a[n-k]
=a[k](2a[n-k]+a[n-k-1])+a[k-1]a[n-k]
=(2a[k]+a[k-1])a[n-k]+a[k]a[n-k-1]
=a[k+1]a[n-k]+a[k]a[n-k-1]
对任意0

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